개념 한 쪽
전기공사기사 샘플링 방법 — z평면의 단위원과 z변환
샘플링 방법 세트는 이산 시스템의 안정도 해석, 1+G(z)H(z)=0의 근 위치, 단위 계단함수의 z변환, z변환 함수에 대응하는 라플라스 변환, s평면 허수축의 사상, 좌반평면의 사상, 이산 시스템의 근 위치에 따른 안정 판정을 묻는다.
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뜻
이산 시스템은 연속시간의 좌반평면 기준 대신 z평면의 원을 기준으로 본다. 복소평면에서 반지름 1인 단위원 안쪽에 모든 근이 있으면 시간이 지남에 따라 응답이 줄어들어 안정하다. 연속시간에서 근이 왼쪽 반평면에 있으면 안정한 것과 비교하면, 이산시간에서는 그 자리가 단위원 내부로 바뀐 셈이다.
z변환법을 쓴 샘플치 제어계가 안정하려면 1+G(z)H(z)=0의 근이 단위원 내부에 있어야 한다. 1+GH(z)=0도 같은 기준을 쓴다.
샘플러 주기를 T라 할 때 s평면의 점은 z=e^(sT)로 z평면에 사상된다. 실수부가 음수인 점은 크기가 1보다 작은 수가 되므로 s평면의 좌반평면은 z평면의 단위원 내부로 간다. 허수축의 순수한 진동 성분은 크기가 1인 복소수로 대응되므로 허수축은 단위원 위의 점들이 된다.
단위 계단함수 u(t)의 z변환은 z/(z−1)이다. 1/(1−z⁻¹)에 z를 곱한 형태와 같다. 이산 신호 e^(−anT)의 z변환은 z/(z−e^(−aT))이고, 그 연속시간 대응인 e^(−at)의 라플라스 변환은 1/(s+a)다.
3차 이산 시스템의 특성방정식 근이 −0.3, −0.2, +0.5로 주어지면 세 근의 크기가 모두 1보다 작아 단위원 안에 있으므로 이 시스템은 안정하다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 안정 판정형 — 근의 크기가 1보다 작으면 안정, 크면 불안정이다. −0.3·−0.2·+0.5는 모두 안정이다. ② 사상형 — 좌반평면은 단위원 내부, 허수축은 단위원 위로 간다. ③ 변환쌍형 — u(t)는 z/(z−1), e^(−at)는 1/(s+a)에 대응한다.
자주 묻는 물음
- 샘플치 제어계가 안정하려면 1+G(z)H(z)=0의 근이 어디에 있어야 하는가?
- z평면의 단위원 내부에 있어야 합니다.
- s평면의 좌반평면은 z평면의 어디로 사상되는가?
- z=e^(sT)에서 실수부가 음수이면 크기가 1보다 작아지므로 단위원 내부로 사상됩니다.
- 단위 계단함수 u(t)의 z변환은?
- z/(z−1)입니다.
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