개념 한 쪽
직렬 RLC 회로는 저항·인덕터·콘덴서가 순차적으로 연결된 회로로, 교류에서의 전압과 전류 관계를 임피던스와 위상각으로 설명한다. 유도성 리액턴스와 용량성 리액턴스의 크기 비교로 회로의 성질이 유도성인지 용량성인지 판별하고, 임피던스 크기와 위상각을 계산하여 전압·전류의 위상 관계를 결정한다. 공진과 역률 개선 문제는 리액턴스 상쇄와 서셉턴스 개념을 통해 접근한다.
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출제기준 단원 「R.L.C(저항, 코일, 콘덴서) 직렬회로의 임피던스, 위상각, 실효전류, 위상, 공진회로」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 임피던스 크기 계산 | 1 | 주파수 주어진 RLC에서 리액턴스 계산 후 크기를 구하기 |
| 위상각 및 선후 관계 판단 | 1 | 리액턴스 부호로 회로가 유도성/용량성인지와 위상 선후를 판단하기 |
| 성분 전압 계산 | 1 | 전체전압과 한 성분 전압으로 다른 성분 전압을 피타고라스로 구하기 |
직렬 RLC 회로의 리액턴스는 유도 리액턴스 XL과 용량 리액턴스 XC의 차 X = XL - XC로 정의한다. 주파수에 따라 XL = ωL, XC = 1/(ωC)로 계산하므로 주파수가 변하면 두 리액턴스가 달라져 회로의 성질이 변한다. 리액턴스의 부호로 회로 성질을 판단하는데, XL > XC이면 유도성으로 전류가 전압보다 뒤지고, XL < XC이면 용량성으로 전류가 전압보다 앞선다.
임피던스 Z는 저항 R과 리액턴스 X의 벡터 합으로 Z = √(R² + (XL - XC)²)로 구한다. 임피던스의 각도(위상각) θ는 tanθ = (XL - XC)/R으로 얻으며, 위상각의 부호로 전류와 전압의 선후 관계를 확인한다. 리액턴스의 절대값은 무효 성분의 크기를 의미하므로 크기만 묻는 문제에서는 절댓값을 취하면 된다.
역률은 유효전력과 피상전력의 비로서 직렬 회로에서는 역률 = R/Z로 계산한다. 역률 개선에서는 병렬로 콘덴서를 접속하여 유도성 무효전력을 상쇄하는데, 병렬 보상 시 콘덴서의 서셉턴스(1/Xc)가 코일의 유도성 서셉턴스와 같아지도록 설계해야 한다. 병렬 보상에서의 서셉턴스 관계식은 임피던스 성분을 분리한 뒤 적용한다.
공진 상태에서는 XL = XC가 되어 리액턴스가 0이 되고 임피던스가 최소가 된다. 공진을 이용하면 전류가 최대가 되거나 특정 주파수에서의 응답 특성을 조절할 수 있으므로 주파수 의존성을 이해하는 것이 중요하다.
예제 1 — 리액턴스 크기 계산 문제를 대표한다. 저항이 100Ω이고 인덕턴스는 20mH, 정전용량은 47μF인 직렬회로에 141.4 sin(377t) V의 전압을 인가하면 ω=377rad/s이므로 XL = ωL = 377×0.02 = 7.54Ω, XC = 1/(ωC) = 1/(377×47×10⁻⁶) ≈ 56.44Ω이다. 리액턴스 X = XL - XC = 7.54 - 56.44 = -48.9Ω이며, 리액턴스의 크기(절댓값)는 48.9Ω이다.
예제 2 — 임피던스 계산 문제를 대표한다. 동일한 조건에서 유효 리액턴스의 절댓값이 48.86Ω(또는 48.9Ω)이고 저항이 100Ω이므로 임피던스 Z = √(100² + 48.9²) ≈ 111Ω이 된다. 이 계산 순서는 XL과 XC를 먼저 구한 뒤 차이를 취하고, 저항과 합성하여 제곱근을 취하는 것이다.
예제 3 — 직렬 R-L 회로의 전압 분배와 위상 관계 예시를 대표한다. R-L 직렬에 전체 전압 100V가 걸리고 저항에 걸리는 전압이 80V이면 VL은 피타고라스 관계 V² = VR² + VL²에서 VL = √(100² - 80²) = 60V이 된다. 이 문제 유형은 전압 성분이 위상차로 벡터합이 됨을 이용하는 전형적 패턴이다.
R=100Ω, L=20mH, C=47μF인 R-L-C 직렬회로에 전압 v=141.4 sin 377t[V]를 인가하면 이 회로의 임피던스는 약 몇 Ω 인가?
정답 ② · 교류 전원 v=141.4 sin 377t[V] 에서 각주파수 ω=377 rad/s 입니다. 유도 리액턴스 XL = ωL = 377 * 0.02 = 7.54Ω, 용량 리액턴스 XC = 1/(ωC) = 1/(377 * 0.000047) ≒ 56.4Ω 입니다.
임피던스는 저항과 리액턴스의 벡터 합이므로 Z=√(R²+(XL-XC)²) 공식을 사용하여 계산한다.
R=8Ω, XL=2Ω, XC=8Ω 의 직렬회로에 100V 의 교류 전압을 가할 때, 전압과 전류의 위상 관계로 옳은 것은?
정답 ② · 직렬회로의 임피던스 Z = R + j(XL - XC) 입니다. 주어진 값 대입 시 XL=2, XC=8 이므로 리액턴스 합은 j(2 - 8) = -j6 입니다.
임피던스 Z=R+j(XL-XC)에서 리액턴스 차가 음수이면 용량성으로 전류가 전압보다 위상이 앞선다.
R-L 직렬회로에 100V의 교류 전압을 가했을 때 저항에 걸리는 전압이 80V이었다면 인덕턴스에 유기되는 전압은 몇 [V]인가?
정답 ③ · R-L 직렬회로에서 교류 전압을 가했을 때, 전체 전압 V, 저항에 걸리는 전압 VR, 그리고 인덕턴스에 유기되는 전압 VL의 크기는 벡터 관계를 이용하여 구합니다. 전체 전압은 각 성분 전압의 제곱의 합의 제곱근과 같다는 공식 V² = VR² + VL² 이 성립합니다.
R-L 직렬회로에서 전체전압은 저항전압과 인덕턴스전압의 벡터합이므로 V²=VR²+VL² 공식을 활용한다.
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