개념 한 쪽
교류회로에서는 코일과 콘덴서가 주파수에 따라 서로 다른 리액턴스를 보이며, 이들의 차이가 회로의 성질과 위상관계를 결정한다. 직렬 RLC회로의 임피던스는 저항과 리액턴스의 벡터 합으로 취급하며, 공진 조건에서는 리액턴스가 상쇄되어 특정 커패시턴스 값을 산출할 수 있다. 병렬로 콘덴서를 연결해 역률을 개선하는 문제는 서셉턴스 개념을 적용하여 해결한다.
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출제기준 단원 「상호유도회로 및 브릿지회로」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 임피던스 크기 계산 | 1 | 주파수에서 XL, XC를 계산하여 직렬회로 임피던스를 구하는 과정 |
| 위상 관계 판별 | 1 | XL과 XC의 대소 비교로 회로가 유도성인지 용량성인지와 위상 선후를 판단하는 과정 |
| 공진시 커패시턴스 산출 | 1 | 주파수가 주어졌을 때 공진을 만족하는 커패시턴스를 역산하는 계산 과정 |
코일은 유도 리액턴스 XL을 가지며, XL은 주파수에 비례하여 증가한다. 콘덴서는 용량 리액턴스 XC를 가지며, XC는 주파수에 반비례하여 감소한다. 따라서 주파수가 증가하면 코일에는 전류가 흐르기 곤란해지고 콘덴서에는 전류가 잘 흐르게 된다.
직렬 R-L 또는 R-L-C 회로에서는 저항 전압과 리액턴스 전압 사이에 위상차가 생기며, 전체전압은 이들 성분의 벡터합으로 계산한다. 예컨대 R-L 직렬에서는 V² = VR² + VL² 관계가 성립하여 한 성분을 알고 나머지를 피타고라스 정리로 구할 수 있다. R-L-C 직렬에서는 유효 리액턴스가 XL - XC로 표현되며, 임피던스는 Z = √(R² + (XL - XC)²)로 구한다.
공진 상황에서는 직렬 공진 주파수 f = 1/(2π√LC)가 성립한다. 주파수가 주어졌을 때 필요한 커패시턴스는 C = 1 / (4π² f² L)로 산출할 수 있으며, 이를 통해 특정 주파수에서 공진하도록 하는 C 값을 역산할 수 있다.
역률 개선 문제에서는 병렬로 콘덴서를 접속하여 유도성 무효 전력을 상쇄한다. 병렬 보상 시에는 서셉턴스(리액턴스의 역수) 관점으로 접근하여 병렬 합성에 맞는 공식을 사용해야 한다. 이때 콘덴서의 용량 리액턴스는 병렬 서셉턴스 등가 관계를 통해 결정한다.
1) 직렬 공진에서 커패시턴스 산출 예: R=10Ω, L=10mH에 f=1000Hz에서 공진시키려면 C = 1 / (4π² f² L) 공식을 사용한다. π≈3.14를 대입하여 계산하면 약 2.53μF가 나온다.
2) 임피던스 계산 예: 저항 100Ω, 코일 20mH, 콘덴서 47μF인 회로에 인가 전압이 141.4×sin(377t)일 때 각주파수 ω=377rad/s에서 XL=ωL≈7.54Ω, XC=1/(ωC)≈56.4Ω이다. 유효 리액턴스는 XL-XC≈-48.9Ω이므로 임피던스 크기는 Z=√(100²+(48.9)²)≈111Ω이 된다.
3) R-L 직렬 전압 분배 예: 전체전압 100V, 저항전압 80V일 때 인덕턴스에 걸리는 전압은 피타고라스 관계로 VL = √(100²-80²) = 60V가 된다.
R=100Ω, L=20mH, C=47μF인 R-L-C 직렬회로에 전압 v=141.4 sin 377t[V]를 인가하면 이 회로의 임피던스는 약 몇 Ω 인가?
정답 ② · 교류 전원 v=141.4 sin 377t[V] 에서 각주파수 ω=377 rad/s 입니다. 유도 리액턴스 XL = ωL = 377 * 0.02 = 7.54Ω, 용량 리액턴스 XC = 1/(ωC) = 1/(377 * 0.000047) ≒ 56.4Ω 입니다.
임피던스는 저항과 리액턴스의 벡터 합이므로 Z=√(R²+(XL-XC)²) 공식을 사용하여 계산한다.
R=8Ω, XL=2Ω, XC=8Ω 의 직렬회로에 100V 의 교류 전압을 가할 때, 전압과 전류의 위상 관계로 옳은 것은?
정답 ② · 직렬회로의 임피던스 Z = R + j(XL - XC) 입니다. 주어진 값 대입 시 XL=2, XC=8 이므로 리액턴스 합은 j(2 - 8) = -j6 입니다.
임피던스 Z=R+j(XL-XC)에서 리액턴스 차가 음수이면 용량성으로 전류가 전압보다 위상이 앞선다.
R-L 직렬회로에 100V의 교류 전압을 가했을 때 저항에 걸리는 전압이 80V이었다면 인덕턴스에 유기되는 전압은 몇 [V]인가?
정답 ③ · R-L 직렬회로에서 교류 전압을 가했을 때, 전체 전압 V, 저항에 걸리는 전압 VR, 그리고 인덕턴스에 유기되는 전압 VL의 크기는 벡터 관계를 이용하여 구합니다. 전체 전압은 각 성분 전압의 제곱의 합의 제곱근과 같다는 공식 V² = VR² + VL² 이 성립합니다.
R-L 직렬회로에서 전체전압은 저항전압과 인덕턴스전압의 벡터합이므로 V²=VR²+VL² 공식을 활용한다.
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