개념 한 쪽
토목기사 지중응력 — 주응력과 모어 원
지중응력은 흙 속 한 점에 작용하는 응력 상태를 말한다. 최대·최소 주응력이 주어지면 모어 원으로 임의 평면의 수직응력과 전단응력을 구하고, 그 평면의 각도는 모어 원에서 두 배로 잡는다.
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뜻
지중응력은 두 갈래로 나뉜다. 흙 자중과 지하수에 의해 원래 생겨 있는 응력은 [유효응력과 간극수압] 카드에서 다루고, 기초 하중처럼 외력이 더해져 생기는 응력증가는 [외력에 의한 지중응력] 카드에서 다룬다. 이 카드는 그 출발점이 되는 한 점의 응력 상태, 곧 주응력과 임의 평면의 응력을 다룬다.
응력 상태는 모어 원 하나로 정리된다. 최대 주응력 σ1과 최소 주응력 σ2가 주어지면 모어 원의 중심은 (σ1+σ2)/2, 반지름은 (σ1−σ2)/2다. 최대 주응력면과 θ의 각을 이루는 평면은 모어 원 위에서 중심각 2θ에 해당하므로, 그 평면의 전단응력은 τ = (σ1−σ2)/2 × sin(2θ), 수직응력은 σ = (σ1+σ2)/2 + (σ1−σ2)/2 × cos(2θ)로 구한다. 각도를 2배로 하지 않거나 sin과 cos을 바꾼 값이 오답이다.
계산으로 확인한다. 최대 주응력 2.0kg/cm², 최소 주응력 1.0kg/cm²이고 최대 주응력면과 30°를 이루는 평면이면 반지름은 (2.0−1.0)/2 = 0.5kg/cm²이고, τ = 0.5×sin(60°) ≈ 0.433kg/cm²다. 최대 200kN/m², 최소 100kN/m²이면 반지름이 50kN/m²이므로 τ = 50×sin(60°) ≈ 43.3kN/m²다. sin(30°)를 그대로 쓰면 25kN/m²가 나오는데, 이것이 2배 각도를 빠뜨린 대표적인 오답이다.
모어 원에서 최대 전단응력은 반지름과 같다. 2θ = 90°, 곧 최대 주응력면과 45°를 이루는 평면에서 τ가 최대가 되고, 주응력면에서는 2θ = 0°이므로 전단응력이 0이다. 주응력면에 전단응력이 작용한다고 적은 선지가 오답이다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 2배 각도 — θ를 그대로 넣은 값이 오답이다. ② 반지름 — (σ1−σ2)/2 대신 σ1−σ2를 쓰거나 중심값을 더한 값이 오답이다. ③ 주응력면 — 전단응력이 0인 자리를 최대로 적은 선지가 오답이다.
자주 묻는 물음
- 최대·최소 주응력이 주어졌을 때 임의 평면의 전단응력은 어떻게 구하나요?
- 모어 원의 반지름 (σ1−σ2)/2에 sin(2θ)를 곱합니다. θ는 최대 주응력면과 그 평면이 이루는 각도이고, 모어 원에서는 두 배인 2θ로 잡습니다.
- 각도를 왜 두 배로 잡나요?
- 평면이 실제로 θ만큼 돌면 모어 원 위의 점은 중심각 2θ만큼 움직이기 때문입니다. 그래서 τ = (σ1−σ2)/2 × sin(2θ)가 됩니다.
- 주응력면에는 전단응력이 작용하나요?
- 작용하지 않습니다. 주응력면은 전단응력이 0인 면이고, 전단응력은 그 면에서 45° 떨어진 평면에서 반지름과 같은 최댓값이 됩니다.
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