개념 한 쪽
토목기사 외력에 의한 지중응력 — 2:1법과 Boussinesq
외력에 의한 지중응력은 기초 하중이 깊이에 따라 퍼지면서 줄어드는 응력증가량이다. 2:1법은 깊이 z에서 분포 면적이 (B+z)(L+z)로 커진다고 보고, Boussinesq 이론은 점하중에 의한 응력증가량이 하중과 위치로만 정해진다고 본다.
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뜻
2:1법은 면적이 어떻게 커지는지가 핵심이다. 기초 폭 B, 길이 L인 기초에 하중이 작용하면 깊이 z에서 연직 2 : 수평 1의 비율로 퍼지므로, 양쪽으로 각각 z/2씩 넓어져 분포 면적이 (B+z)(L+z)가 된다. 따라서 응력증가량은 Δσ = P/[(B+z)(L+z)]이고, 등분포하중 q를 쓰면 Δσ = qBL/[(B+z)(L+z)]다. 면적을 B×L 그대로 두거나 (B+2z)(L+2z)로 잡은 값이 오답이다.
계산으로 확인한다. 5m×10m 기초에 q = 6t/m²가 작용할 때 전체 하중은 6×50 = 300t이고, 깊이 10m에서 면적은 (5+10)(10+10) = 300m²이므로 Δσ = 300/300 = 1.0t/m²다. 2m×2m 기초에 10t이 작용하면 깊이 5m에서 면적이 (2+5)(2+5) = 49m²이므로 Δσ = 10/49 ≈ 0.204t/m²다. 1m×1m 기초에 5t이 작용하면 깊이 4m에서 면적이 5×5 = 25m²이므로 Δσ = 5/25 = 0.2t/m²다.
Boussinesq 이론은 가정과 결론을 함께 본다. 지반을 등방성 선형탄성체로 가정하지만, 점하중에 의한 지중연직 응력증가량 Δσz는 하중 P와 위치(깊이 z, 반경 r)만으로 정해진다. 탄성계수 E나 포아송비 ν는 응력식에서 소거되어 응력 크기에 영향을 주지 않고, 침하량 같은 변위를 계산할 때 쓰인다. Δσz가 E에 비례하거나 반비례한다고 적은 선지가 오답이다.
지중응력 계산의 바탕에는 유효응력이 있다. 유효응력은 전응력에서 간극수압을 뺀 σ′ = σ − u이며, 흙의 강도와 변형은 이 값으로 정해진다. 간극수압이 낮아지는 하향 침투가 일어나면 유효응력이 커지고, 불포화 상태에서 간극수압이 음수이면 유효응력이 전응력보다 커질 수도 있다. 포화 사질지반에 지진 같은 동적하중이 작용해 간극수압이 급격히 오르면 유효응력이 0에 가까워져 전단강도를 잃는데, 이 현상이 액상화다. 지하수위 아래에서는 포화단위중량에서 물의 단위중량을 뺀 수중단위중량으로 유효응력을 계산한다.
예제
출제 패턴은 네 가지다. ① 면적 — 2:1법에서 (B+z)(L+z) 대신 다른 면적을 쓴 값이 오답이다. ② 하중 — 등분포하중 q에 기초 면적 BL을 곱해 전체 하중을 구하는 단계를 빠뜨린 값이 오답이다. ③ Boussinesq — Δσz가 탄성계수에 좌우된다고 적은 선지가 오답이다. ④ 유효응력 — 하향 유동과 유효응력의 관계를 뒤집거나, 액상화를 유효응력이 커지는 현상으로 적은 선지가 오답이다.
자주 묻는 물음
- 2:1법에서 깊이 z의 응력증가량은 어떻게 구하나요?
- Δσ = P/[(B+z)(L+z)]로 구합니다. 하중이 깊이 z에서 연직 2 : 수평 1의 비율로 퍼져 양쪽으로 각각 z/2씩 넓어지므로, 폭이 B+z, 길이가 L+z인 면적으로 커진다고 보기 때문입니다. 등분포하중이면 P 대신 qBL을 넣습니다.
- 5m×10m 기초에 6t/m²가 작용할 때 깊이 10m의 응력증가량은 얼마인가요?
- 전체 하중이 6×50 = 300t이고 면적이 (5+10)(10+10) = 300m²이므로 1.0t/m²입니다.
- Boussinesq 이론에서 응력증가량은 탄성계수와 무관한가요?
- 무관합니다. Δσz는 하중 P와 깊이 z, 반경 r만으로 정해지고, 탄성계수 E와 포아송비 ν는 응력식에 남지 않습니다. E는 침하량 같은 변위 계산에 쓰입니다.
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