토목기사 장주 — 오일러 좌굴하중과 유효길이계수

좌굴하중은 유효길이의 제곱에 반비례한다. Pcr=π²EI/(KL)²이고, 단면 2차모멘트는 약축의 최소값을 쓴다. 단면 10cm×20cm·길이 3m·E=2×10⁵kgf/cm²인 양단힌지 기둥은 약축 2차모멘트 20×10³/12를 넣어 좌굴하중이 약 36.6tf가 된다. 강축의 2차모멘트를 넣은 값이 오답이다.

지지조건이 배수를 정한다. 유효길이계수는 양단고정 0.5, 일단고정·타단힌지 0.7, 양단힌지 1.0, 일단고정·타단자유 2.0이다. 좌굴하중은 유효길이의 제곱에 반비례하므로, 같은 재료·단면·길이에서 양단고정 기둥의 좌굴하중은 양단힌지 기둥의 4배가 된다. 양단고정에서 100t이던 기둥을 일단힌지·타단고정으로 바꾸면 (0.5/0.7)²≈0.5배가 되어 50t이 된다. 계수비를 제곱하지 않고 그대로 적용한 값이 오답이다.

어느 기둥이 가장 강한지도 같은 원리로 가린다. 같은 재료·단면·길이에서 좌굴하중이 가장 큰 기둥은 유효길이가 가장 짧은 기둥이다. 0.5×2L=L, 1.0×L=L, 2.0×0.5L=L처럼 유효길이가 L로 같아지는 기둥들과 견주어, 0.7×1.2L=0.84L인 기둥의 유효길이가 가장 짧아 좌굴하중이 가장 크다. 실제 길이만 보고 고른 선지가 오답이다.

세장비를 알면 좌굴응력도 나온다. 오일러 식 σ=π²E/λ²에 세장비를 넣는다. 길이 2m·지름 4cm 원형단면 일단고정·타단힌지 기둥은 K=0.7로 유효길이 140cm, 원형단면의 회전반경 r=d/4=1cm라 λ=140이 되어 좌굴응력이 약 987kg/cm²다. 길이 8m·3cm×4cm 양단고정 기둥은 유효길이 400cm, 최소 회전반경 약 0.866cm로 λ≈462, 좌굴응력 약 92.5kg/cm²이고, E=2.0×10⁴MPa인 100mm×200mm·길이 3m 기둥은 일단고정·타단자유로 K=2를 넣어 좌굴하중이 91.4kN이 된다. 지지조건별 K를 잘못 넣거나 최소 회전반경 대신 다른 값을 쓴 선지가 오답이다.

단면 치수가 커지면 좌굴하중은 더 빠르게 늘어난다. 한 변이 a인 정사각형 단면·길이 l인 장주의 임계하중은 탄성계수 E와 a의 네제곱에 비례하고 길이 l의 제곱에 반비례한다(P∝Ea⁴/l²). a와 l의 지수를 바꿔 놓은 서술이 오답이다.

세장비는 유효길이를 최소 회전반경으로 나눈 값이다. λ = KL/i이고 i = √(I/A)이므로, 직사각형 단면의 최소 회전반경은 짧은 변 b를 √12로 나눈 b/√12다. 15cm×30cm·길이 5m 양단힌지 기둥은 i = 15/√12 ≈ 4.33cm라 λ = 500/4.33 ≈ 115이고, 200mm×300mm·길이 2.9m 양단힌지 기둥은 i = 200/√12 ≈ 57.7mm라 λ ≈ 50이다. 긴 변으로 회전반경을 잡거나 실제 길이만 넣은 값이 오답이다.