개념 한 쪽
재료역학 문제에서는 다양한 응력 발생 원인과 재료 상수 사이의 관계를 이용해 허용 범위를 평가한다. 전단탄성계수, 열응력, 포아송비와 영계수의 관계 등 기본 식을 정확히 적용해야 정답을 도출한다.
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출제기준 단원 「허용응력」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 변형률-주변형률 계산 | 1 | 평면변형률에서 주변형률(주변변형률)을 도출하기 |
| 체적증가량 계산 | 1 | 원형봉의 체적증가량을 프와송비 포함 식으로 계산하기 |
| 탄성에너지 계산 | 1 | 원형봉에 하중 작용 시 저장되는 탄성에너지를 구하기 |
전단탄성계수 G는 세로탄성계수 E와 포아송비 ν 사이의 관계식 G = E / [2(1+ν)]로 계산한다. 이 식은 등방성 선형탄성 재료에서 성립하는 기본 관계식이므로 G를 구할 때 E와 ν를 연결하는 표준 공식으로 사용한다.
고정된 구조물이 온도 변화에 의해 응력을 받는 경우 열응력은 σ = E α ΔT로 표현한다. 양단이 고정된 막대처럼 길이 변화가 제한된 경우, 온도 변화량 ΔT를 σ/(Eα)로 구해 허용 응력을 넘지 않는 온도 범위를 결정한다.
인장하중이 작용할 때의 횡·종 변형률 관계는 포아송비 ν로 연결된다. 횡변형률 εt는 종변형률 εl에 대해 εt = -ν εl로 나타나며, 지름 감소량이나 체적 변화는 이 관계를 이용해 계산한다.
체적 변화는 ΔV = V·(σ/E)·(1-2ν) 공식을 통해 근사적으로 구한다. 프와송비의 값에 따라 체적 변형의 크기가 달라지며, ν = 0.5인 경우 체적변화가 0이 되는 특성을 기억한다.
탄성 에너지는 외력에 의해 재료 내부에 저장되는 일로, 막대의 경우 U = P²L / (2AE) 공식을 이용해 계산한다. 단위 환산과 단면적 계산을 정확히 해 숫자를 대입하는 것이 핵심이다.
전단탄성계수 계산 예시: 세로탄성계수 E=210 GPa, 포아송비 ν=0.303이 주어지면 G = E / [2(1+ν)] 식에 대입한다. 분모 2(1+0.303)=2.606이므로 G ≈ 210 / 2.606 ≈ 80.58 GPa가 된다.
열응력 한계로 허용 온도 범위 산정 예시: 양단 고정된 막대에서 허용 열응력 σ_allow=85 MPa, E=210 GPa, α=11.5×10⁻⁶/K일 때 ΔT = σ_allow/(Eα) ≈ 85/(210000×11.5×10⁻⁶) ≈ 35.2℃가 된다. 초기 온도 15℃를 기준으로 허용 범위는 -20.2℃에서 50.2℃가 된다.
수직 변형률 εx=200x10⁻⁶, εy=50x10⁻⁶, 전단변형률 γxy=-120x10⁻⁶ 인 평면변형률 상태의 주변형률은?
정답 ④ · 평면변형률 상태에서 주변형률을 계산하는 문제이다. 주변형률 공식은 ε1,2=(εx+εy)/2 ± 루트(((εx-εy)/2) 제곱 + (γxy/2) 제곱)이다.
주변형률은 주변형률 공식 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다.
지름 30 mm의 원형 단면이며, 길이 1.5 m인 봉에 85 kN의 축방향 하중이 작용된다. 탄성계수 E = 70 GPa, 프와송비 v = 1/3일 때, 체적증가량의 근사값은 몇 mm3 인가?
정답 ④ · 축방향 인장 하중을 받을 때 체적 변화량 ΔV는 ΔV = V × (σ/E) × (1 - 2v)로 구합니다. 단면적 A = π(0.015)² ≈ 7.07×10^-4 m²이고, 초기 체적 V = A × L = 7.07×10^-4 × 1.5 ≈ 1.06×10^-3 m³입니다.
체적변화량 ΔV=V·(σ/E)·(1-2v) 공식에 초기체적과 변형률을 대입하여 근사값을 구한다.
지름 1cm,길이 50cm, 탄성계수 200GPa의 강봉이 90kN의 인장하중을 받을 때 탄성에너지는?
정답 ① · 강봉과 같은 선형 탄성체에 하중이 가해질 때 저장되는 탄성 에너지(U)는 U = (P² × L) / (2 × A × E) 공식으로 계산됩니다. 단면적 A는 지름이 1cm(0.01m)이므로 A = π × (0.005)² ≈ 7.854 × 10⁻⁵ m² 입니다.
탄성에너지 공식 U=P²L/2AE에 지름을 반지름으로 변환해 단면적을 구한 후 대입하면 약 129N·m가 된다.
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