개념 한 쪽
후크의 법칙은 탄성 범위에서 응력과 변형률이 비례한다는 기본 원리를 제시한다. 평면응력이나 축하중, 전단 등 다양한 하중 상태에서 이 비례 관계를 활용해 변형률이나 응력을 계산한다. 포아송비와 탄성계수의 결합으로 종·횡 변형률, 전단 변형률, 체적 변형률 등을 구할 수 있다.
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출제기준 단원 「후크의 법칙」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 전단변형률 계산 | 1 | 전단응력과 전단탄성계수로 전단변형률을 계산하기 |
| 평면응력 변형률 산정 | 1 | 평면응력 상태에서 포아송비를 고려한 변형률을 구하기 |
| 축응력 체적변형률 | 1 | 축방향 응력으로 체적 변형률을 구하는 공식 적용 |
후크의 법칙은 탄성계수 E와 전단탄성계수 G를 이용해 축방향 응력과 변형률, 전단응력과 전단변형률 사이의 선형 관계를 나타낸다. 축방향에서는 σ = Eε 형태로 표현되며, 평면응력 상태에서는 포아송비 ν를 고려한 일반화된 형태 εx = (σx - νσy)/E, εy = (σy - νσx)/E을 사용한다. 이 관계는 재료가 탄성 범위에 있을 때에만 성립한다.
전단 거동은 τ = Gγ 관계로 설명된다. 전단탄성계수 G를 구한 뒤 포아송비로부터 E = 2G(1+ν)를 이용해 세로탄성계수로 변환할 수 있다. 단위 일치와 단위 변환이 계산의 핵심이므로 GPa·MPa·kPa 등 단위 환산에 주의해야 한다.
후크의 법칙은 변형률 정의와 결합되어 여러 응용으로 확장된다. 진변형률 ε는 공학적 변형률 e에 대해 ε = ln(1+e)로 표현되며, 로제트 게이지 판독값으로부터 주변형률을 유도하여 응력으로 환산할 때 이들 관계를 동시에 적용한다. 축방향 하중에서 포아송비는 횡방향 변형률을 종변형률의 -ν배로 만든다는 점을 활용한다.
체적 변형률은 세 직교 방향의 변형률 합으로 표현되고, 단축 인장응력 σ의 경우 εν = (σ/E)(1-2ν)로 정리된다. 이 식을 통해 축응력이 작용할 때 부피 변화의 크기를 판단할 수 있다.
전단탄성계수가 80 GPa이고 전단응력이 1 kPa일 때 전단변형률 γ는 γ = τ/G 공식을 적용하여 구한다. 단위 변환으로 G = 80 GPa = 8×10^7 kPa를 사용하면 γ = 1 / (8×10^7) = 1.25×10⁻⁸이 된다. 단위 환산 실수로 10의 차수를 잘못 옮기는 실수가 흔하므로 주의한다.
평면 응력 조건에서 σx가 100 MPa이고 σy가 50 MPa인 경우 변형률은 εx = (σx - νσy)/E, εy = (σy - νσx)/E 공식을 적용하여 계산한다. E와 응력 단위를 일치시켜 대입하면 εx≈404×10⁻⁶, εy≈95×10⁻⁶이 된다.
축방향 인장하중이 작용하는 원형 봉에서 지름 감소량을 구할 때는 먼저 세로변형률 ε_long = P/(AE)를 계산하고 횡변형률 ε_dia = -ν·ε_long을 적용하여 Δd = d·|ε_dia|로 구한다. 포아송비의 역할을 기억하면 계산 흐름을 빠르게 잡을 수 있다.
전단 탄성계수가 80 GPa인 강봉(steel bar)에 전단응력이 1 kPa이 발생했다면 이 부재에 발생한 전단변형률 γ 는 얼마인가?
정답 ③ · 전단 응력과 전단 탄성 계수가 주어졌을 때 전단 변형률을 구하는 문제이다. 훅의 법칙에 따라 전단 변형률 γ=τ/G이고, 단위를 통일하면 τ=1kPa, G=80GPa=8×10의 7제곱 kPa이다.
전단변형률은 전단응력을 전단탄성계수로 나눈 값이며, 단위 환산에 주의해야 한다.
평면 응력상태에서 σx=100MPa, σy=50MPa일 때 x방향과 y방향의 변형율 εx, εy는 얼마인가? (단, 이 재료의 탄성계수 E=210 GPa, 포와송 비 μ=0.3이다.)
정답 ② · 평면 응력 상태에서 x방향과 y방향의 변형율은 이방성 응력에 의한 변형을 고려한 Hook의 법칙을 따릅니다. 변형율 공식은 εx = (σx - μσy) / E 이고, εy = (σy - μσx) / E 입니다.
평면 응력 상태의 변형률은 훅의 법칙 ε=(σ-μσ)/E를 적용하여 각 방향의 응력과 포아송비를 고려해 계산한다.
축 방향의 단면에 균일한 인장응력 10MPa이 작용하고 있다면 이 때 체적 변형률 εν는? (단, 포와송의 비 μ=0.3, 탄성계수 E=210GPa이다.)
정답 ④ · 체적 변형률 εν은 세 가지 직교 방향의 수직 변형률의 합으로 구할 수 있습니다. x축 방향의 인장 응력 σ=10MPa이 작용할 때, 변형률은 εx = σ/E, 나머지 방향은 포와송 비에 의해 εy=εz=-μσ/E 가 됩니다.
체적 변형률 εν은 (σ/E)(1-2μ) 공식으로 계산되며, 주어진 값을 대입하면 약 1.9×10⁻⁵가 된다.
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