어떤 재료의 탄성계수 E 와 전단탄성계수 G를 알아보았더니 E=210GPa, G=83GPa를 얻었다. 이 재료의 포아송비는?
- 0.265
- 0.115
- 1.0
- 0.435
정답과 해설 보기
정답 ① · 탄성계수와 전단탄성계수로부터 포아송비를 구하는 문제이다. 탄성상수 관계식 E=2G(1+ν)를 포아송비에 대해 정리하면 ν=E/(2G)-1이 된다.
포아송비 ν는 (E/2G)-1 공식으로 구하며, 계산 결과 0.265가 된다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 포아송의 비 — 횡·종 변형률의 비
포아송의 비는 재료가 한 방향으로 변형될 때 수직 방향으로 나타나는 변형률의 비율을 나타내는 중요한 물성치다 한다. 등방성 선형탄성 재료에서는 포아송의 비와 영계수, 전단탄성계수가 서로 관계를 가지므로 이들 공식의 적용을 통해 문제를 해결한다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「포아송의 비」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 탄성상수로 ν 계산 | 1 | E와 G로부터 포아송의 비를 계산하는 방법을 묻는다 |
| 변형치로 ν 계산 | 1 | 길이 및 지름 변화로부터 포아송의 비를 계산하는 절차를 묻는다 |
| 체적변화 계산 | 1 | 축하중과 주어진 물성으로 체적증가량 근사를 묻는다 |
뜻
포아송의 비 ν는 횡방향 변형률(횡변형률)을 종방향 변형률(종변형률)으로 나눈 값으로 정의한다. 인장 시 길이가 늘어나는 방향의 변형률을 ε로 두면 횡방향 변형률은 -νε가 되므로, ν = |ε_t/ε_l|로 계산한다는 점을 기억한다. 원단면의 경우 지름 변화가 면적 변화의 절반 비율로 연결되므로 단면적 변화는 선형 변형률의 2배에 비례한다는 관점으로 접근한다.
등방성 재료에서는 세 가지 탄성상수 E, G, ν 사이에 E = 2G(1+ν) 관계가 성립한다는 사실을 활용한다. 이 식을 ν에 대해 정리하면 ν = (E/2G) - 1이 되므로 E와 G가 주어지면 ν를 직접 계산할 수 있다. 반대로 E와 ν가 주어지면 G = E / [2(1+ν)]로 전단탄성계수를 구할 수 있다.
변형률이 작을 때 체적변화는 체적변화율 공식 ΔV = V·(σ/E)·(1-2ν)을 사용하여 근사적으로 구한다는 점을 유의한다. 여기서 ν가 0.5이면 체적변화가 0이 되어 비압축성 거동을 보인다는 성질을 문제 해결의 단서로 활용한다.
문제풀이에서 핵심은 단위를 통일하여 변형률을 계산하고, 횡·종 변형률의 비를 취하는 순서를 정확히 지키는 것이다. μm와 mm 같은 다른 단위를 혼용하면 오답이 유발되므로 모든 치수를 동일 단위로 환산한 후 계산한다는 점을 습관화해야 한다.
예제
1) 물성치로 ν 계산하기: 예를 들어 영계수 210 GPa와 전단계수 83 GPa라는 값이 주어졌을 때 E = 2G(1+ν) 식을 ν에 대해 정리한 식에 대입하여 ν를 계산하면 약 0.265가 됨을 확인한다는 순서를 따른다.
2) 치수 변화로 ν 계산하기: 길이 500 mm에서 300 μm 늘어나고 지름 16 mm에서 2.4 μm 줄어든 봉의 경우 종변형률 ε_l = 300μm / 500mm = 0.0006, 횡변형률 ε_t = 2.4μm / 16mm = 0.00015이므로 ν = 0.00015 / 0.0006 = 0.25로 계산한다는 절차를 따른다. 단위 통일 후 횡/종 비율을 취하는 점이 핵심이다.
3) 체적변화 응용: 원단면 봉에 축하중이 작용할 때 체적증가량을 묻는 문제는 ΔV = V·(σ/E)·(1-2ν) 공식을 적용하여 초기체적 V와 응력 σ를 구한 뒤 계산하고, 단위를 문제에서 요구하는 단위로 변환하여 답을 제시하는 방식으로 풀이한다는 점을 준수한다.
대표 기출 3문항
수직 변형률 εx=200x10⁻⁶, εy=50x10⁻⁶, 전단변형률 γxy=-120x10⁻⁶ 인 평면변형률 상태의 주변형률은?
- 267x10⁻⁶, 16x10⁻⁶
- -267x10⁻⁶, 16x10⁻⁶
- -221x10⁻⁶, 29x10⁻⁶
- 221x10⁻⁶, 29x10⁻⁶
정답과 해설 보기
정답 ④ · 평면변형률 상태에서 주변형률을 계산하는 문제이다. 주변형률 공식은 ε1,2=(εx+εy)/2 ± 루트(((εx-εy)/2) 제곱 + (γxy/2) 제곱)이다.
주변형률은 주변형률 공식 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다.
지름 30 mm의 원형 단면이며, 길이 1.5 m인 봉에 85 kN의 축방향 하중이 작용된다. 탄성계수 E = 70 GPa, 프와송비 v = 1/3일 때, 체적증가량의 근사값은 몇 mm3 인가?
- 30
- 60
- 300
- 600
정답과 해설 보기
정답 ④ · 축방향 인장 하중을 받을 때 체적 변화량 ΔV는 ΔV = V × (σ/E) × (1 - 2v)로 구합니다. 단면적 A = π(0.015)² ≈ 7.07×10^-4 m²이고, 초기 체적 V = A × L = 7.07×10^-4 × 1.5 ≈ 1.06×10^-3 m³입니다.
체적변화량 ΔV=V·(σ/E)·(1-2v) 공식에 초기체적과 변형률을 대입하여 근사값을 구한다.
자주 묻는 물음
- 포아송의 비는 어떻게 정의하나?
- 포아송의 비 ν는 횡변형률을 종변형률로 나눈 값으로 정의하며, 인장 시 횡방향 변형률은 -νε가 되므로 ν = |ε_t/ε_l|로 계산한다는 정의를 따른다.
- E, G, ν 사이의 관계식은 무엇인가?
- 등방성 선형탄성 재료에서는 E = 2G(1+ν) 관계가 성립하므로 이 식을 ν에 대해 정리하면 ν = (E/2G) - 1이고, 반대로 G = E / [2(1+ν)]로 전단탄성계수를 구할 수 있다는 관계를 사용한다.
- 체적변화 계산에서 프와송비는 어떻게 영향하나?
- 체적변화 근사식은 ΔV = V·(σ/E)·(1-2ν)을 사용하므로 ν가 클수록 체적변화 계수가 작아지며 ν=0.5이면 체적변화가 0이 되어 비압축성 거동을 보인다는 점을 이용한다.
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