어떤 재료의 탄성계수 E 와 전단탄성계수 G를 알아보았더니 E=210GPa, G=83GPa를 얻었다. 이 재료의 포아송비는?
- 0.265
- 0.115
- 1.0
- 0.435
정답과 해설 보기
정답 ① · 탄성계수와 전단탄성계수로부터 포아송비를 구하는 문제이다. 탄성상수 관계식 E=2G(1+ν)를 포아송비에 대해 정리하면 ν=E/(2G)-1이 된다.
포아송비 ν는 (E/2G)-1 공식으로 구하며, 계산 결과 0.265가 된다.
개념 한 쪽
건설기계설비기사 재료역학 크리프 및 피로 — 프와송비, 탄성상수 관계와 체적변화
재료역학에서 프와송비와 탄성상수 사이의 관계를 이해하면 전단탄성계수, 영계수, 변형률 관련 문제를 해결할 수 있다. 변형률의 변환과 주변형률, 체적변화 공식, 탄성에너지 등은 계산 절차와 단위 통일이 핵심이다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「크리프 및 피로」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 탄성상수로 프와송비 계산 | 1 | E와 G로부터 프와송비를 계산하는 절차를 묻는다 |
| 평면변형률의 주변형률 판정 | 1 | εx, εy, γxy 값으로 최대·최소 주변형률을 구하는 계산을 묻는다 |
| 체적변화량 근사 계산 | 1 | 축하중과 재료상수로 체적증가량 근사식을 적용해 값 구하기를 묻는다 |
뜻
프와송비(ν)는 재료의 횡방향 변형률과 종방향 변형률의 비로 정의한다. 축 방향으로 늘어날 때 지름이나 폭이 줄어드는 비율을 나타내며 ν = ε_t / ε_l 관계로 계산한다. 변형률 계산에서는 변형량과 원래 길이의 단위를 일관되게 맞춘 뒤 비율을 구해야 한다.
등방성 선형탄성 재료에서는 영계수 E, 전단탄성계수 G, 프와송비 ν 사이에 E = 2G(1+ν) 관계가 성립한다. 이로부터 ν = (E/2G) - 1, 또는 G = E / [2(1+ν)] 등으로 상수 하나를 다른 두 상수로 환산할 수 있다. 탄성상수 관계식은 물성치 문제에서 자주 사용되므로 공식을 암기하고 변형하여 적용할 것을 권한다.
평면변형률 상태에서는 주변형률(주변변형률, principal strains)을 구할 때 평균변형률과 반지름을 계산한다. 공식은 ε1,2 = (εx+εy)/2 ± sqrt[ ((εx-εy)/2)^2 + (γxy/2)^2 ]이며, γxy는 전단변형률이다. 모어 원 원리를 이용해 최대·최소 수직 변형률을 구하는 절차를 숙지해야 한다.
체적변화는 축방향 응력과 프와송비의 영향을 받는다. 축방향 응력 σ가 작용할 때 체적증가량의 근사 식은 ΔV = V · (σ/E) · (1 - 2ν) 이며, v=0.5인 경우 체적변화가 0이 되는 점을 통해 비압축성 거동을 직관적으로 이해할 수 있다. 탄성에너지 계산과 열응력 공식 등도 단위 통일과 공식을 올바르게 적용하는 절차가 중요하다.
예제
1) 영계수 E와 전단탄성계수 G로부터 프와송비를 구하는 계산 예시이다. 공식 ν = (E/2G) - 1을 사용한다. 영계수를 210 GPa, 전단탄성계수를 83 GPa로 놓고 계산하면 ν = (210 / (2×83)) - 1 = (210/166) - 1 ≈ 0.265가 된다. 계산 시 분모와 분자의 단위가 같도록 하고 괄호 연산을 정확히 수행할 것을 권한다.
2) 길이와 지름의 변화로부터 프와송비를 구하는 예시이다. 길이 500 mm에서 300 μm 늘어났고 지름 16 mm에서 2.4 μm 줄어들었을 때 종변형률 ε_l = 300μm / 500mm = 0.0006, 횡변형률 ε_t = 2.4μm / 16mm = 0.00015이 된다. 따라서 ν = ε_t / ε_l = 0.00015 / 0.0006 = 0.25가 된다. 단위 환산을 일관되게 처리하는 것이 핵심이다.
대표 기출 3문항
수직 변형률 εx=200x10⁻⁶, εy=50x10⁻⁶, 전단변형률 γxy=-120x10⁻⁶ 인 평면변형률 상태의 주변형률은?
- 267x10⁻⁶, 16x10⁻⁶
- -267x10⁻⁶, 16x10⁻⁶
- -221x10⁻⁶, 29x10⁻⁶
- 221x10⁻⁶, 29x10⁻⁶
정답과 해설 보기
정답 ④ · 평면변형률 상태에서 주변형률을 계산하는 문제이다. 주변형률 공식은 ε1,2=(εx+εy)/2 ± 루트(((εx-εy)/2) 제곱 + (γxy/2) 제곱)이다.
주변형률은 주변형률 공식 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다.
지름 30 mm의 원형 단면이며, 길이 1.5 m인 봉에 85 kN의 축방향 하중이 작용된다. 탄성계수 E = 70 GPa, 프와송비 v = 1/3일 때, 체적증가량의 근사값은 몇 mm3 인가?
- 30
- 60
- 300
- 600
정답과 해설 보기
정답 ④ · 축방향 인장 하중을 받을 때 체적 변화량 ΔV는 ΔV = V × (σ/E) × (1 - 2v)로 구합니다. 단면적 A = π(0.015)² ≈ 7.07×10^-4 m²이고, 초기 체적 V = A × L = 7.07×10^-4 × 1.5 ≈ 1.06×10^-3 m³입니다.
체적변화량 ΔV=V·(σ/E)·(1-2v) 공식에 초기체적과 변형률을 대입하여 근사값을 구한다.
자주 묻는 물음
- 프와송비는 어떻게 정의하나?
- 프와송비 ν는 횡변형률을 종변형률로 나눈 값으로 ν = ε_t/ε_l로 정의한다.
- E, G, ν 사이의 관계식은 무엇인가?
- 등방성 선형탄성 재료에서 E = 2G(1+ν) 관계가 성립하며 이를 변형하여 ν = (E/2G)-1 또는 G = E/[2(1+ν)]로 쓸 수 있다.
- 평면변형률 상태에서 주변형률은 어떻게 구하나?
- 주변형률 ε1,2는 평균변형률 (εx+εy)/2에 반지름 R = sqrt[((εx-εy)/2)^2 + (γxy/2)^2]를 더하거나 빼어 계산한다.
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