개념 한 쪽
탄성 영역에서 재료의 기계적 성질은 영계수(E), 전단탄성계수(G), 포아송 비(v) 등 상수들로 특징지어진다는 점을 핵심으로 다룬다.
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출제기준 단원 「탄성-소성 거동」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 주변(주)변형률 계산 | 1 | 평면변형률 상태에서 최대·최소 수직변형률 도출 절차 |
| 체적변화량 근사 계산 | 1 | 축방향 하중과 프와송비로 체적증가량 근사 산출 |
| 탄성상수 간 변환 계산 | 1 | E와 G가 주어졌을 때 포아송 비 산출 |
포아송 비(v)는 한 방향으로 변형될 때 그 직교 방향에서 발생하는 횡변형률과 종변형률의 비로 정의한다는 점을 설명한다. 실무 문제에서는 보통 ν=ε_t/ε_l 또는 절대값 형태 ν=|ε_t/ε_l|을 사용하여 횡·종 변형률 비율을 계산한다는 점을 명확히 한다.
영계수 E와 전단탄성계수 G 사이에는 등방성 재료를 가정할 때 E=2G(1+ν) 관계가 성립하므로, 어떤 두 값이 주어지면 나머지 하나를 공식으로 계산할 수 있다는 점을 설명한다. 이로부터 ν는 ν=(E/2G)-1 공식을 통해 구할 수 있고, 반대로 G는 G=E/[2(1+ν)] 공식으로 구할 수 있다는 점을 강조한다.
변형률 처리와 관련해 공학적 변형률 e와 진변형률 ε의 관계는 ε=ln(1+e)로 나타난다는 사실을 소개한다. 이 관계는 큰 변형 영역에서 공학적 정의와 진정의 차이를 정량적으로 연결하므로 적절한 정의를 사용해야 한다는 실무적 의미를 담는다.
3차원 체적 변화와 열응력 관련 공식도 탄성 영역의 응용으로 포함된다는 점을 알린다. 체적변화 근사식 ΔV=V·(σ/E)·(1-2ν)는 축방향 응력으로 인한 전체 체적 변화량을 구할 때 프와송비의 영향(1-2ν 항)을 반영한다는 점을 설명한다.
모어 원의 원리나 주변(주)변형률 공식은 평면변형률 상태에서 최대·최소 수직변형률을 구하는 수단으로 사용된다는 점을 정리한다. 주변변형률 공식 ε1,2=(εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]를 통해 주변형률을 도출하는 절차를 기억하도록 안내한다.
예 1 — E와 G가 주어진 경우 포아송 비 계산하기: E=210GPa, G=83GPa가 주어지면 ν=(E/2G)-1 공식을 적용하여 ν=(210/(2·83))-1=(210/166)-1≈0.265로 계산한다는 과정을 보인다.
예 2 — 길이와 지름 변화량으로 포아송 비 계산하기: 길이 500mm가 300μm 증가하고 지름 16mm가 2.4μm 감소한 경우 종변형률 ε_l=300μm/500mm=0.0006, 횡변형률 ε_t=2.4μm/16mm=0.00015를 구한 후 ν=ε_t/ε_l=0.00015/0.0006=0.25로 산출한다는 계산 절차를 제시한다.
수직 변형률 εx=200x10⁻⁶, εy=50x10⁻⁶, 전단변형률 γxy=-120x10⁻⁶ 인 평면변형률 상태의 주변형률은?
정답 ④ · 평면변형률 상태에서 주변형률을 계산하는 문제이다. 주변형률 공식은 ε1,2=(εx+εy)/2 ± 루트(((εx-εy)/2) 제곱 + (γxy/2) 제곱)이다.
주변형률은 주변형률 공식 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다.
지름 30 mm의 원형 단면이며, 길이 1.5 m인 봉에 85 kN의 축방향 하중이 작용된다. 탄성계수 E = 70 GPa, 프와송비 v = 1/3일 때, 체적증가량의 근사값은 몇 mm3 인가?
정답 ④ · 축방향 인장 하중을 받을 때 체적 변화량 ΔV는 ΔV = V × (σ/E) × (1 - 2v)로 구합니다. 단면적 A = π(0.015)² ≈ 7.07×10^-4 m²이고, 초기 체적 V = A × L = 7.07×10^-4 × 1.5 ≈ 1.06×10^-3 m³입니다.
체적변화량 ΔV=V·(σ/E)·(1-2v) 공식에 초기체적과 변형률을 대입하여 근사값을 구한다.
어떤 재료의 탄성계수 E = 210 GPa이고 전단 탄성계수 G = 83GPa이라면 이 재료의 포아송 비는?
정답 ① · 탄성계수와 전단 탄성계수로부터 포아송 비를 구하는 계산 문제이다. 세 탄성상수 사이에는 E = 2G(1+v)의 관계식이 성립하므로 포아송 비는 v = E/(2G) - 1로 계산한다.
포아송 비 ν는 (E/2G)-1 공식을 사용하며, E=210GPa, G=83GPa를 대입하면 ν≈0.265가 된다.
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