개념 한 쪽
응력과 변형률 관계를 통해 재료의 탄성특성과 변형 거동을 파악한다. 포아송비, 영계수, 전단탄성계수 등 물성치 간의 관계식을 이용해 다양한 물리량을 계산할 수 있다. 로제트 계측과 주변(주)변형률 변환, 공학적 변형률과 진변형률의 관계도 기본 개념에 포함한다.
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출제기준 단원 「응력-변형률 선도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 주변(주)변형률 계산 | 1 | 평면 변형률 수치로부터 최대·최소 주변변형률을 구하는 절차 |
| 체적변화·체적증가량 산정 | 1 | 축방향 하중과 물성치로부터 체적증가량 근사값을 구하는 계산 |
| 탄성에너지 계산 | 1 | 봉의 치수와 하중·E를 이용해 저장된 탄성에너지를 산출하는 계산 |
포아송비(ν)는 축방향 변형률에 대한 횡방향 변형률의 비로 정의한다. 구체적으로 ν=ε_t/ε_l이며, 축방향 신장에 대해 횡방향 수축이 얼마나 일어나는지를 나타내는 무차원 수치이다. 변형률 계산 시 원래 길이에 대한 변형량의 비율을 사용하며 단위 통일이 핵심이다.
영계수(E), 전단탄성계수(G), 포아송비(ν) 사이에는 등방성 재료의 기초 관계 E = 2G(1+ν)가 성립한다. 이로부터 전단탄성계수는 G = E / [2(1+ν)]로 계산한다. 주어진 E와 ν를 공식에 대입하여 G를 산출하는 문제가 자주 출제된다.
탄성에너지(U)는 인장하중 하에서 저장되는 에너지로 U = P²L / (2AE) 공식을 사용한다. 여기서 P는 하중, L은 길이, A는 단면적, E는 영계수이며 단위 일관성 유지를 통해 계산한다. 또한 고정 양단의 막대에서 발생하는 열응력은 σ = EαΔT로 표현되며 온도 변화량과 재료 상수로부터 허용 온도 범위를 구할 수 있다.
변형률의 표현에는 공학적 변형률(e)과 진변형률(ε)이 있으며 두 값은 ε = ln(1+e)로 연결한다. 큰 변형이 발생하는 경우 진변형률을 사용해 더 정확한 변형 상태를 나타내며, 미소변형 적분으로부터 유도된 관계식임을 이해한다.
평면변형률 상태에서 주변(주)변형률은 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다. 로제트 게이지로 측정한 각 방향 변형률로부터 주변변형률을 도출하고, 후크의 법칙과 결합해 주응력을 구하는 절차를 따른다.
예 1 — 프와송비 계산 절차를 보인다. 길이 500mm인 강봉이 300μm 늘어나고 지름 16mm에서 2.4μm 줄어들었을 때 종변형률 ε_l = 300μm / 500000μm = 0.0006, 횡변형률 ε_t = 2.4μm / 16000μm = 0.00015로 계산한다. 따라서 ν = ε_t / ε_l = 0.00015 / 0.0006 = 0.25로 판단한다.
예 2 — 탄성에너지 계산 절차를 보인다. 지름 1cm, 길이 50cm, E = 200 GPa인 강봉에 P = 90 kN이 작용할 때 단면적 A = π(0.005m)² ≈ 7.854×10⁻⁵ m²로 구한 뒤 U = P²L / (2AE)을 적용한다. 단위를 N, m, Pa로 통일하여 대입하면 U ≈ 128.9 N·m 수준으로 계산한다.
수직 변형률 εx=200x10⁻⁶, εy=50x10⁻⁶, 전단변형률 γxy=-120x10⁻⁶ 인 평면변형률 상태의 주변형률은?
정답 ④ · 평면변형률 상태에서 주변형률을 계산하는 문제이다. 주변형률 공식은 ε1,2=(εx+εy)/2 ± 루트(((εx-εy)/2) 제곱 + (γxy/2) 제곱)이다.
주변형률은 주변형률 공식 ε₁,₂ = (εx+εy)/2 ± √[((εx-εy)/2)²+(γxy/2)²]로 계산한다.
지름 30 mm의 원형 단면이며, 길이 1.5 m인 봉에 85 kN의 축방향 하중이 작용된다. 탄성계수 E = 70 GPa, 프와송비 v = 1/3일 때, 체적증가량의 근사값은 몇 mm3 인가?
정답 ④ · 축방향 인장 하중을 받을 때 체적 변화량 ΔV는 ΔV = V × (σ/E) × (1 - 2v)로 구합니다. 단면적 A = π(0.015)² ≈ 7.07×10^-4 m²이고, 초기 체적 V = A × L = 7.07×10^-4 × 1.5 ≈ 1.06×10^-3 m³입니다.
체적변화량 ΔV=V·(σ/E)·(1-2v) 공식에 초기체적과 변형률을 대입하여 근사값을 구한다.
지름 1cm,길이 50cm, 탄성계수 200GPa의 강봉이 90kN의 인장하중을 받을 때 탄성에너지는?
정답 ① · 강봉과 같은 선형 탄성체에 하중이 가해질 때 저장되는 탄성 에너지(U)는 U = (P² × L) / (2 × A × E) 공식으로 계산됩니다. 단면적 A는 지름이 1cm(0.01m)이므로 A = π × (0.005)² ≈ 7.854 × 10⁻⁵ m² 입니다.
탄성에너지 공식 U=P²L/2AE에 지름을 반지름으로 변환해 단면적을 구한 후 대입하면 약 129N·m가 된다.
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