개념 한 쪽
모형 실험이 의미를 가지려면 실물과 모형 사이에 동역학적 상사가 성립해야 한다. 이를 위해 문제의 지배력을 결정하는 무차원수를 동일하게 맞추는 것이 핵심이다. 프루드 수는 자유표면 흐름의 중력 영향, 레이놀즈 수는 점성 영향, 그 밖에 웨버수·마하수 등은 각각 표면장력·압축성 등 특정 물리 현상에 대응한다.
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출제기준 단원 「모형과 원형, 상사법칙」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 무차원수 대응 판단 | 1 | 주어진 힘과 관련된 무차원수를 골라 연결하는 능력을 묻는다 |
| 레이놀즈 수 유량 계산 | 1 | 치수 축소에 따른 모형 유속과 유량을 레이놀즈 수 동치로 계산하는 법을 묻는다 |
| 프루드 수에 의한 속도 산정 | 1 | 길이비의 제곱근을 이용해 모형 속도를 실물 속도에서 계산하는 방법을 묻는다 |
상사법칙은 서로 다른 크기의 계에서 동일한 물리적 거동을 얻기 위한 조건을 규정한다. 서로 다른 치수의 모형과 실물에서 동일한 무차원수를 유지하면 상사성이 성립하여 모형 실험 결과를 실물로 확대할 수 있다. 대표적인 무차원수로는 관성력과 점성력의 비를 나타내는 레이놀즈수, 관성력과 중력의 비를 나타내는 프루드수, 관성력과 표면장력의 비를 나타내는 웨버수가 있다.
프루드 수는 자유표면이 있는 흐름에서 중력의 영향을 고려할 때 주로 사용한다. 프루드 수가 같도록 하면 속도의 비는 길이 비의 제곱근으로 결정된다. 따라서 조파저항 실험처럼 중력이 지배적인 문제에서는 속도 비 ∝ √(길이 비) 관계를 적용한다.
레이놀즈 수 동치가 필요한 경우에는 속도와 길이의 곱이 보존되어 Vm·Lm = Vp·Lp 관계가 성립한다. 특히 관성력과 점성력이 주요 변수일 때 모형의 속도는 치수비의 역수에 비례하여 조정해야 한다. 유량 비교에서는 단면적(치수비 제곱)과 속도비를 함께 고려하여 유량비를 산정한다.
무차원수와 물리 현상을 매칭하는 연습이 중요하다. 문제에서 어떤 힘들이 지배적인지 파악한 뒤 대응하는 무차원수를 선택하여 상사조건식을 세우는 절차를 준수해야 한다.
프루드 수 적용 문제는 길이비의 제곱근을 속도비로 사용하는 형태가 자주 등장한다. 예컨대 길이 150m 실선을 길이 10m 모형으로 조파저항 실험하면 속도비는 √(10/150)이며, 실물 속도 70km/hr에 이 값을 곱해 모형 속도를 구한다. 레이놀즈 수 적용 문제는 속도와 치수를 곱한 항을 같게 놓아 Vm = Vp·(Lp/Lm)로 풀며, 축소 모형에서 유량을 구할 때는 단면적비(치수비 제곱)와 속도비를 곱해 유량비를 산정한다.
조파저항의 상사는 길이 척도비의 세제곱으로 저항이 확장되는 특징이 있으므로, 모형 저항을 실물로 환산할 때는 λ³ 비례 관계를 확인해야 한다. 펌프 회전수 상사 문제는 레이놀즈수 식을 회전수 항으로 정리하여 지름의 제곱과 동점성계수의 비를 고려해 회전수를 계산한다.
역학적 상사성(相似性)이 성립하기 위해 프루드(Froude) 수를 같게 해야 되는 흐름은?
정답 ① · 프루드 수가 지배적인 무차원수인 흐름 조건을 묻는 문제이다. 프루드 수는 관성력에 대한 중력의 비를 나타내며, 중력의 영향이 지배적인 자유표면 흐름에서 상사성 확보의 핵심 기준이 된다.
프루드 수는 중력파의 전파와 관련되어 자유표면 흐름에서 중요하게 사용된다.
직경이 50 cm인 원관에 물이 2 m/s속도로 흐른다. 역학적 상사를 위하여 관성력과 점성력만을 고려하여 1/5로 축소 된 모형에서 같은 물로 실험할 경우 모형에서의 유량은 몇 L/s 인가? (단, 물의 동점성계수는 1x10⁻⁶ m²/s 이다.)
정답 ② · 관성력과 점성력만 고려한 축소 모형 실험에서 레이놀즈 수 동치 조건을 이용해 모형 유량을 구하는 문제이다. 같은 물로 실험하므로 점성이 같고, Re_m = Re_p이면 V_m/V_p = D_p/D_m = 5가 되어 모형 속도는 2 × 5 = 10 m/s이다.
모형 실험 시 레이놀즈 수 동치를 유지해야 하므로, 축소 비율에 따른 속도 변화를 통해 실제 유량을 계산한다.
길이 150 m인 배를 길이 10 m인 모형으로 조파저항에 관한 실험을 하고자 한다. 실형의 배가 70 km/hr로 움직인다면, 실형과 모형 사이의 역학적 상사를 만족하려면 모형의 속도는 몇 km/hr로 하여야 하는가?
정답 ③ · 조파저항 실험에서는 프루드 수(Froude number)가 일치해야 역학적 상사가 성립합니다. 프루드 수의 식은 Fr = V / sqrt(gL)이므로, 실형과 모형의 프루드 수를 같게 놓고 속도 비를 구하면 V_m / V_p = sqrt(L_m / L_p) 입니다.
조파저항 상사법칙은 프루드 수가 일치해야 하므로, 속도는 길이의 제곱근에 비례하여 모형 속도를 계산한다.
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