개념 한 쪽
원관 내의 완전발달 층류에서는 유량과 압력강하가 점성과 관 치수에 의해 결정된다는 사실이 핵심이다. 하겐-포아젤 법칙은 층류 관내 유동의 유량과 압력강하를 연결하고, 레이놀즈수는 층류·난류 판정을 위해 사용한다는 점을 기억한다.
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출제기준 단원 「하겐-포아젤 유동」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 층류 유지 조건 계산 | 1 | 임계 레이놀즈수로 허용 평균속도를 역산하는 방법을 묻는다 |
| 레이놀즈수 기반 속도계산 | 1 | 주어진 ν와 D로 층류 최대평균속도를 수치로 계산하는 방법을 묻는다 |
| 하겐-포아젤 압력강하 계산 | 1 | 유량과 관 치수로 관내 압력강하를 하겐-포아젤 법칙으로 계산하는 방법을 묻는다 |
하겐-포아젤 법칙은 점성유체가 원관을 층류로 흐를 때 적용되는 기본 식으로서 Q = (π D⁴ ΔP) / (128 μ L) 형태로 표현된다. 이 식으로부터 유량은 관 지름 D의 네제곱에 비례하고 압력강하 ΔP에 비례하며 점성계수 μ와 관 길이 L에 반비례함을 알 수 있다.
레이놀즈수 Re는 관내 흐름의 상태를 판단하는 지표이며 정의식은 Re = V D / ν이다. 통상적인 임계값으로 Re가 약 2000~2100 이하이면 층류로 보며, 이 값을 이용해 층류에서 허용되는 최대 평균속도를 역산할 수 있다.
관내 층류에서 중심부 속도와 평균속도는 정해진 비율 관계를 가지며, 최대속도 계산에는 압력강하와 반지름 R이 사용된다. 중심부 최대속도 식은 Vmax = (ΔP·R²) / (4 μ L)로 표현되는 경우가 있으며 반지름이 제곱으로 들어가므로 단위 변환에 유의해야 한다.
실무적 관점에서는 하겐-포아젤 법칙과 레이놀즈수 정의를 순서대로 적용하여 문제를 해결한다. 먼저 흐름 상태를 레이놀즈수로 판정하고 층류로 가정되면 하겐-포아젤 법칙이나 관련 속도·압력관계식을 사용해 유량·속도·압력강하를 계산한다.
대표 식과 간단한 계산 예를 제시한다.
1) 하겐-포아젤 식의 비례성 확인: Q ∝ D⁴ 관계를 이용하면 관 지름을 조금만 증가시켜도 유량이 크게 증가함을 알 수 있다. 설계에서 관경 결정 시 D⁴ 의 민감도를 고려해야 한다.
2) 임계 레이놀즈수에서 허용 최대평균속도 계산 예: 지름 0.10 m, 동점성계수 ν = 1.8×10⁻⁶ m²/s, 임계 Re = 2100을 대입하면 V = Re·ν / D = (2100 × 1.8×10⁻⁶) / 0.1 = 3.78×10⁻² m/s가 된다. 이 값은 층류를 유지할 수 있는 최대 평균속도를 의미한다.
2 m³의 탱크에 지름이 0.05 m의 파이프를 통하여 물(점성 계수 0.001 Pa.s)을 채우려고 한다. 파이프 내의 유동이 계속 층류를 유지시키면서 물을 완전히 채우려면 최소 몇 시간이 걸리겠는가? (단, 임계 레이놀즈수는 2000 이다.)
정답 ③ · 층류 조건을 유지하며 탱크를 채우는 데 걸리는 최소 시간을 구하는 문제이다. 레이놀즈수 Re=ρVD/μ를 속도에 대해 정리하면 V=Reμ/(ρD)이고, 임계 레이놀즈수 2000에서 최대 속도는 V=2000x0.001/(1000x0.05)=0.04 m/s이다.
임계 레이놀즈수 2000을 초과하지 않는 최대 속도를 구한 후, 탱크 부피를 그 유량으로 나누어 시간을 계산한다.
20℃의 물이 지름 2㎝의 원관속을 흐르고 있다. 층류로 흐를 수 있는 최대 평균속도는 몇 m/s 인가?(단, 임계 레이놀즈수는 2100 이며 20 ℃ 물의 동점성계수는 1.005x10⁻⁶ m²/s이다.)
정답 ③ · 레이놀즈수(Re) 공식 Re = V×D/ν 를 이용하여 층류의 최대 유속을 구합니다. 임계 레이놀즈수 Re = 2100, 관경 D = 2cm = 0.02m, 동점성계수 ν = 1.005×10⁻⁶ m²/s 입니다.
층류 최대 속도는 임계 레이놀즈수 Re=2100을 사용하여 V=Re×ν/D 공식으로 계산한다.
점성을 지닌 액체가 지름 4 mm 의 수평으로 놓인 원통형 튜브를 12 × 10-6 m³/s 의 유량으로 흐르고 있다. 길이 1 m 에서의 압력강하는 몇 kPa 인가? (단, 튜브의 입구로부터 충분히 멀리 떨어져 있어서 유체는 축방향으로만 흐르며 유체의 밀도와 점성계수는 ρ = 1.18 × 103 kg/m³, μ = 0.0045 Nㆍs/m² 이다.)
정답 ② · 관내 유동이 층류(Laminar flow)일 경우 하겐-포아죄일(Hagen-Poiseuille) 법칙을 이용해 압력 강하를 구합니다. 유량 Q = 12×10^-6 m³/s, 관 반경 r = 0.002 m, 길이 L = 1 m, 점성계수 μ = 0.0045 Pa·s입니다.
층류 하겐-포아죄일 법칙 ΔP=8μLQ/πr⁴에 유량과 점성계수를 대입하여 압력강하를 구한다.
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