개념 한 쪽
전기공사기사 간단한 함수의 변환 — 기본 변환 쌍과 역변환
간단한 함수의 변환 세트는 거듭제곱 함수와 지수함수가 곱해진 함수, 사인 함수, 복소 지수함수의 라플라스 변환, 유리함수의 역변환, 임펄스 전류를 가한 콘덴서의 전압, 지수 함수 전류의 적분으로 전하량과 자기 에너지를 구하는 계산을 묻는다. 계단응답의 모양과 지연시간의 정의도 묻는다.
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뜻
기본 변환 쌍을 외우면 대부분 바로 풀린다. t의 n제곱은 n!을 s의 n+1제곱으로 나눈 값이고, e^(−at)는 1/(s+a)다. 여기에 t가 곱해지면 분모가 제곱이 되어 te^(−3t)는 1/(s+3)²이 된다. sinωt는 ω/(s²+ω²)이고, e^(jωt)는 1/(s−jω)다.
유리함수는 분모를 완전제곱 꼴로 고쳐 역변환한다. F(s)=(4s+16)/(s²+8s+20)은 분모를 (s+4)²+2²로, 분자를 4(s+4)로 고칠 수 있으므로 4e^(−4t)cos(2t)가 된다.
콘덴서는 전류를 적분해 전압을 만든다. 단위 임펄스 전류의 적분은 단위계단 함수이므로 전압은 (1/C)u(t)다.
지수 함수는 무한대까지 적분하면 계수를 지수 계수로 나눈 값이 남는다. i(t)=6e^(−3t)mA를 적분하면 총 전하량이 6÷3인 2mC다. 인덕턴스 2H에 v=6e^(−3t)V를 가하면 전류가 6÷2÷3인 1A까지 오르고, 저장 에너지는 ½×2×1²인 1J이다.
계단응답이 입력 신호와 같은 파형이고 시간만 뒤졌다면 그 계는 지연 요소이다. 지연시간은 단위계단 입력에 대한 응답이 최종값의 50%에 도달하는 데 걸리는 시간이다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 기본 변환 쌍 — tⁿ은 n!/s^(n+1), te^(−3t)는 1/(s+3)², sinωt는 ω/(s²+ω²)다. ② 역변환 — 분모를 (s+a)²+b²로 고쳐 지수감쇠 코사인·사인으로 바꾼다. 4s+16과 s²+8s+20이면 4e^(−4t)cos2t다. ③ 적분 계산 — 지수 함수의 무한 적분은 계수÷지수다. 6e^(−3t)mA이면 2mC다.
④ 응답 특성형 — 계단응답이 입력과 같은 모양으로 시간만 늦으면 지연 요소이고, 지연시간은 응답이 최종값의 50%에 이르는 시간이다.
자주 묻는 물음
- f(t)=te^(−3t)의 라플라스 변환은?
- 1/s²에 s를 s+3으로 바꾸는 규칙을 적용한 1/(s+3)²입니다.
- F(s)=(4s+16)/(s²+8s+20)의 시간함수는?
- 분모가 (s+4)²+2²이고 분자가 4(s+4)이므로 4e^(−4t)cos2t입니다.
- i(t)=6e^(−3t)mA가 흐르는 축전기에 최종적으로 축적되는 전하량은?
- 전류를 무한대까지 적분한 6÷3인 2mC입니다.
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