개념 한 쪽
콘덴서에 쌓이는 에너지는 W = ½CV² 하나로 시작한다. 전압이나 전하가 주어진 기본 계산, 유전체의 단위 체적당 에너지 u = ½ED = ½εE², 그리고 여기서 유전율을 거꾸로 구하는 계산까지가 시험 범위다.
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출제기준 단원 「콘덴서에 축적된 정전에너지」의 공개 문제 8개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 유전율 역산 계산 | 4 | 전속밀도와 체적당 에너지로 유전율 산출 |
| 에너지 공식 고르기 | 1 | 축적 에너지를 나타내는 식 선택 |
| 정전용량 역산 계산 | 1 | 에너지와 전압으로 콘덴서 용량 산출 |
| 에너지 수치 계산 | 1 | 용량과 충전 전압으로 축적 에너지 산출 |
| 에너지 밀도 공식 고르기 | 1 | 유전체의 체적당 정전에너지 식 선택 |
가장 자주 묻는 것은 유전율 역산 계산입니다.
정전용량 C인 콘덴서에 전압 V를 걸면 축적되는 에너지는 W = ½CV²다. 이 식을 뒤집으면 정전용량은 C = 2W/V²로 역산된다. 1kV로 충전했을 때 에너지가 1J인 콘덴서는 C = 2×1/(1000²) = 2μF이고, 5000μF 콘덴서를 60V로 충전하면 W = 0.5×0.005×60² = 9J이 된다. kV는 1000V, μF는 10⁻⁶F로 바꾸는 단위 환산이 계산의 첫 단계다.
유전체 속에서는 에너지를 체적당으로 표현한다. 단위 체적당 정전에너지는 u = ½ED이고, D = εE를 넣으면 u = ½εE² = D²/(2ε)로 쓸 수 있다. 전계의 세기 E와 유전율 ε가 주어지면 ½εE² 꼴이 정답 식이 된다.
전속밀도 D와 단위 체적당 에너지 u가 주어지면 유전율을 거꾸로 구할 수 있다. u = ½ED에서 E = 2u/D로 전계를 구하고, ε = D/E를 계산한다. D = 2.4×10⁻⁷C/m², u = 5.3×10⁻³J/m³이면 E ≈ 4.42×10⁴V/m이고 ε ≈ 5.43×10⁻¹²F/m이 된다. D = 4.8×10⁻⁷C/m²로 커지면 E ≈ 2.21×10⁴V/m, ε ≈ 2.17×10⁻¹¹F/m처럼 값이 네 배 어긋난다. 같은 u에서 D가 두 배면 ε = D²/(2u)에 따라 ε은 네 배가 되는 규칙성으로 보기를 가를 수 있다.
유전율 역산은 세 단계다. ① E = 2u/D로 전계를 구한다(2×5.3×10⁻³ ÷ 2.4×10⁻⁷ ≈ 4.42×10⁴V/m). ② ε = D/E를 계산한다(2.4×10⁻⁷ ÷ 4.42×10⁴ ≈ 5.43×10⁻¹²F/m). ③ 보기의 지수와 계수를 대조한다. 같은 문제에서 D만 4.8×10⁻⁷로 바뀌면 답은 2.17×10⁻¹¹F/m로 정확히 네 배가 된다. 에너지 계산은 W = ½CV²에 값을 넣기만 하면 9J처럼 정리된 수가 나온다.
평행판 콘덴서에 어떤 유전체를 넣었을 때 전속밀도가 2.4×10-7C/m2이고, 단위 체적 중의 에너지가 5.3×10-3 Ｊ/m3 이었다. 이 유전체의 유전률은 몇 F/m 인가?
정답 ④ · 주어진 값은 전속밀도 D = 2.4×10^-7 C/m^2와 단위체적 에너지 u = 5.3×10^-3 J/m^3이다. 유전체의 에너지밀도는 u = 1/2 E·D 이므로 전계 E = 2u/D = 2·5.3×10^-3 / 2.4×10^-7 ≈4.4167×10^4 V/m 이다.
C[F]의 콘덴서에 V[V]의 직류 전압을 인가 시 축적되는 에너지는 몇[J]인가?
정답 ① · 축적되는 에너지를 묻는 문제이므로 커패시터의 저장 에너지 공식으로 접근한다. 정전용량 C에 전압 V를 걸었을 때 에너지는 (1/2)CV^2이다.
1[kV]로 충전된 어떤 콘덴서의 정전에너지가 1[J]일 때, 이 콘덴서의 크기는 몇 [μF]인가?
정답 ① · 문제는 정전 에너지와 전압이 주어졌을 때 정전용량을 구하라고 묻고 있다. 정전 에너지 식은 W = 1/2 C V^2 이므로 C = 2W / V^2 이다.
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