개념 한 쪽
도체계가 지니는 정전에너지는 구도체의 U = Q²/(8πε₀R), 콘덴서의 W = ½CV², 유전체의 밀도 u = ½ED = D²/(2ε) 세 얼굴로 나온다. 전하를 보존한 채 모양이 바뀌면 에너지가 어떻게 움직이는지, 유전상수가 커지면 밀도가 어떻게 변하는지가 판정 포인트다.
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출제기준 단원 「도체계가 가진 정전에너지등」의 공개 문제 5개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 물방울 합체 에너지 변화 | 1 | 전하 보존·반지름 변화에 따른 에너지 증감 판단 |
| 정전용량 역산 계산 | 1 | 에너지와 충전 전압으로 콘덴서 용량 산출 |
| 관계 서술 틀린 것 고르기 | 1 | 전속밀도·유전상수·굴절각 관계 중 틀린 항목 |
| 에너지 밀도 공식 고르기 | 1 | 유전체의 체적당 정전에너지 식 선택 |
| 유전율 역산 계산 | 1 | 전속밀도와 에너지 밀도로 유전율 산출 |
전하 Q, 반지름 R인 구도체 하나가 지니는 정전에너지는 U = Q²/(8πε₀R)다. 전하 Q, 반지름 a인 물방울 두 개가 합쳐지면 전하는 2Q로 보존되고 부피 보존에 따라 반지름은 a·2^(1/3)로 커진다. 합친 뒤 에너지는 (2Q)²/(8πε₀·a·2^(1/3))이 되어 처음 총에너지 Q²/(4πε₀a)의 2^(2/3)배, 곧 증가한다. 감소한다는 보기는 반지름 변화를 빠뜨린 계산이다.
콘덴서로 놓고 보면 축적 에너지는 W = ½CV²이고, 이를 뒤집어 C = 2W/V²로 용량을 역산할 수 있다. 1kV 충전에 에너지가 1J인 콘덴서는 2μF이다.
유전체 속 에너지는 단위 체적당으로 표현한다. u = ½ED이고 D = εE를 쓰면 u = D²/(2ε) = ½εE²이다. 여기서 세 가지 관계가 나온다. 첫째, 굴절률이 큰 유전체는 유전상수 εr도 크다. 둘째, 전속밀도 D가 같을 때는 εr이 클수록 u가 작아진다(u = D²/(2ε)). 셋째, 정전에너지 u가 같을 때는 εr이 클수록 D가 커야 한다(D = √(2uε)).
전속의 분포에 대한 서술도 출제된다. 전속은 매질에 축적되는 에너지가 최대가 되도록 분포된다는 설명은 틀렸고, 장은 에너지를 최소화하는 방향으로 분포된다.
물방울 합체는 세 단계로 계산한다. ① 합치기 전: 2 × Q²/(8πε₀a) = Q²/(4πε₀a). ② 합친 뒤: 전하 2Q, 반지름 a·2^(1/3)을 대입해 (2Q)²/(8πε₀·a·2^(1/3)). ③ 비율: 2/2^(1/3) = 2^(2/3) > 1이므로 증가. 관계 서술 문제는 u = D²/(2ε) 하나만 떠올리면 된다. D 고정 → ε 크면 u 작음, u 고정 → ε 크면 D 큼. 최대 분포라는 문구는 최소화 원리와 반대이므로 틀린 보기로 골라낸다.
반지름 a[m], 전하 Q[C]을 가진 두 개의 물방울이 합쳐서 한개의 물방울이 되었다. 합쳐진 후의 정전에너지를 합쳐지기 전과 비교하면 어떻게 되는가?
정답 ④ · 문제는 두 동일한 전하를 가진 물방울이 합쳐질 때 정전에너지가 어떻게 변하는지를 묻는다. 구형 도체의 자속 에너지는 U = Q^2/(8πε0R) 이므로 초기 총에너지는 2·[Q^2/(8πε0a)] = Q^2/(4πε0a) 이다.
1[kV]로 충전된 어떤 콘덴서의 정전에너지가 1[J]일 때, 이 콘덴서의 크기는 몇 [μF]인가?
정답 ① · 문제는 정전 에너지와 전압이 주어졌을 때 정전용량을 구하라고 묻고 있다. 정전 에너지 식은 W = 1/2 C V^2 이므로 C = 2W / V^2 이다.
정전에너지, 전속밀도 및 유전상수 εr의 관계에 대한 설명중 틀린 것은?
정답 ④ · 문제는 전속밀도(D), 유전율(εr)과 정전에너지(에너지밀도 u) 사이의 관계를 묻는다. 에너지밀도는 u = 1/2 E·D 이며 D = εE 이므로 동일한 D일 때 u = D^2/(2ε)로 ε가 커지면 u는 작아진다(보기 2 참).
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