단면적 S, 평균반지름 r, 권회수 N인 토로이드코일에 누설자속이 없는 경우, 자기인덕턴스의 크기는?
- 권선수의 자승에 비례하고 단면적에 반비례한다.
- 권선수 및 단면적에 비례한다.
- 권선수의 자승 및 단면적에 비례한다.
- 권선수의 자승 및 평균 반지름에 비례한다.
정답과 해설 보기
정답 ③ · 토로이드 코일(누설자속 없음)의 인덕턴스는 L = (μ N^2 S)/(2π r) 형태로 주어진다. 여기서 N은 권수, S는 단면적, r은 평균반지름이다.
개념 한 쪽
전기기사 인덕턴스의 계산 — 토로이드·솔레노이드 공식과 비례 관계
대표적인 코일 두 가지의 인덕턴스 식이 출제 축이다. 환상(토로이드)코일은 L = μN²S/ℓ로 권수 제곱·단면적에 비례하고 자로 길이에 반비례하며, 무한 솔레노이드는 단위 길이당 L' = μn²S = μπa²n²다. 권수를 바꿔 인덕턴스를 유지하는 조건 찾기도 묻는다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「인덕턴스의 계산」의 공개 문제 5개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 솔레노이드 단위길이 인덕턴스 식 고르기 | 3 | μn²S(μπa²n²) 꼴 선택 |
| 토로이드 비례 관계 고르기 | 1 | N²·S·r와의 비례·반비례 판별 |
| 인덕턴스 유지 조건 고르기 | 1 | 권수 변화를 상쇄할 치수 변화 선택 |
가장 자주 묻는 것은 솔레노이드 단위길이 인덕턴스 식 고르기입니다.
뜻
누설자속이 없는 환상코일(토로이드)의 자기인덕턴스는 L = μN²S/ℓ = μN²S/(2πr)이다. N은 권수, S는 단면적, ℓ(= 2πr)은 평균 자로 길이다. 따라서 권선수의 자승과 단면적에 비례하고 평균 반지름(자로 길이)에는 반비례한다. '단면적에 반비례한다'·'권선수에 (일차) 비례한다'는 보기는 식과 반대거나 차수가 낮은 그릇된 서술이다.
길이가 아주 긴 솔레노이드에서 1m당 인덕턴스는 L' = μn²S다. n은 단위 길이당 권수[회/m], S는 단면적이다. 반지름 a로 나타내면 단면적 S = πa²이므로 L' = μπa²n²가 된다. n이 한 번만 들어가거나(μπan) a²이 빠진 보기는 차원에서부터 걸러진다. 거꾸로 n²은 있지만 πa² 대신 a만 남은 형태(μs²n²처럼 S를 제곱한 꼴)도 같은 이유로 탈락한다.
식에서 인수를 움직여 인덕턴스를 일정하게 유지하는 유형도 있다. L ∝ N²μS/ℓ이므로 권수를 반으로 줄이면 N² 항이 1/4가 된다. 이를 되돌리려면 분모의 길이 ℓ를 1/4로 줄이면 된다(1/4 ÷ 1/4 = 1). 단면적을 2배로 하는 것은 2배 몫이라 부족하고, 전류를 바꾸는 것은 인덕턴스 자체와 무관하며, 비투자율(상대투자율)을 2배로 하는 것도 2배 몫이라 부족하다.
예제
두 식을 나란히 놓고 차수를 확인한다. 토로이드: 분자 μN²S, 분모 2πr. 솔레노이드: μn²S = μπa²n². 조건 변화 문제는 '어떤 인수에 제곱이 걸리는가'를 먼저 보고, 권수 절반 → N² 1/4 → 길이 1/4로 상쇄한다는 짝을 쓴다.
대표 기출 3문항
단면적 s[m2], 단위 길이에 대한 권수가 n[회/m]인 무한히 긴 솔레노이드의 단위 길이당의 자기인덕턴스는 몇 H/m 인가?
- μsn
- μsn2
- μs2n2
- μs2n
정답과 해설 보기
정답 ② · 문제는 무한 솔레노이드의 단위 길이당 인덕턴스를 묻는다. 솔레노이드의 인덕턴스 per unit length L'은 자기에너지 관점 또는 Φ = μ n I s 이고 자기회로에서 전류당 자기결합을 보면 L' = μ n^2 s 가 된다(여기서 s는 단면적, n은 단위길이당 권수).
N회 감긴 환상코일의 단면적이 S[m2]이고 평균 길이가 ℓ[m]이다. 이 코일의 권수를 반으로 줄이고 인덕턴스를 일정하게 하려고 할 때, 다음 중 옳은 것은?
- 단면적을 2배로 한다.
- 길이를 1/4 배로 한다.
- 전류의 세기를 4배로 한다.
- 비투자율을 2배로 한다.
정답과 해설 보기
정답 ② · 문제는 권수를 반으로 줄일 때 인덕턴스를 일정하게 유지하려면 어떤 치수를 바꿔야 하는지를 묻는다. 인덕턴스 L은 N^2·μ·S/ℓ에 비례한다.
자주 묻는 물음
- 환상코일(토로이드)의 인덕턴스 공식은 무엇인가요?
- L = μN²S/ℓ(ℓ = 2πr)입니다. 권수의 자승과 단면적에 비례하고 자로 길이(평균 반지름)에 반비례합니다.
- 무한 솔레노이드의 단위 길이당 인덕턴스는 무엇인가요?
- L' = μn²S이고 반지름 a로 쓰면 μπa²n²입니다. 단위 길이당 권수의 자승과 단면적에 비례합니다.
- 권수를 반으로 줄이면서 인덕턴스를 유지하려면 어떻게 하나요?
- 자로 길이를 1/4로 줄이면 됩니다. N²이 1/4가 되므로 분모도 1/4로 줄여 상쇄합니다. 전류를 바꾸는 것은 인덕턴스와 무관합니다.
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