개념 한 쪽
유체 계산의 답이 어긋나는 까닭은 대개 단위 환산에 있다. 푸아즈와 스토크, 제곱미터와 제곱센티미터, 킬로파스칼과 메가파스칼 사이를 오갈 때 배율을 놓치면 공식을 맞게 세워도 결과가 달라진다. 차원은 그 배율이 왜 붙는지를 보여 준다.
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출제기준 단원 「차원 및 단위」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 체적탄성계수 계산 | 1 | 압력·체적 변화로 액체의 탄성계수 산출 |
| 점성의 온도 의존 | 1 | 온도가 오를 때 점성계수가 변하는 방향 확인 |
| 회전 토크 계산 | 1 | 동심 실린더 사이 유체를 돌리는 모멘트 구하기 |
점성계수의 단위는 푸아즈와 파스칼초로 오간다. 1푸아즈는 0.1파스칼초이므로 0.9푸아즈는 0.09파스칼초가 된다. 이를 밀도 950kg/m³로 나누면 동점성계수는 약 0.0000947m²/s이고, 1스토크가 10⁻⁴m²/s이므로 10⁴을 곱해 약 0.947스토크가 된다. 푸아즈를 파스칼초로 바꾸는 단계와 스토크로 바꾸는 단계를 한꺼번에 처리하면 지수가 어긋나기 쉽다.
동점성계수는 점성계수를 밀도로 나눈 값이다. 점성계수 0.2N·s/m², 밀도 800kg/m³이면 0.2 ÷ 800 = 2.5×10⁻⁴m²/s다. 점성계수 0.08kg/m·s, 밀도 800kg/m³이면 0.08 ÷ 800 = 0.0001m²/s이고, 1m²가 10⁴cm²이므로 10⁴을 곱해 1.0cm²/s가 된다. 같은 계산이라도 결과 단위가 m²/s인지 cm²/s인지에 따라 곱하는 배율이 달라진다.
체적탄성계수 계산에서는 압력 단위와 변화율을 함께 맞춘다. 체적 0.02m³인 액체가 730kPa에서 1030kPa로 압력이 오르며 0.019m³로 줄었다면, 압력 변화는 300kPa이고 체적 변화율은 0.001 ÷ 0.02 = 0.05다. 따라서 체적탄성계수는 300 ÷ 0.05 = 6,000kPa다. 체적탄성계수 2.1475×10⁹Pa인 물을 0.25% 압축하려면 2.1475×10⁹ × 0.0025 = 5.37×10⁶Pa, 곧 약 5.37MPa의 압력이 필요하다. 퍼센트를 소수로 바꾸고 파스칼을 메가파스칼로 바꾸는 두 단계가 필요하다.
회전 점도계의 토크도 단위 환산이 관건이다. 반지름 0.5m, 길이 2m인 안쪽 실린더를 3rpm으로 돌릴 때 각속도는 3 × 2π ÷ 60 = π/10rad/s다. 점성계수 5N·s/m², 간격 0.01m인 Couette 유동으로 보면 토크는 약 247N·m가 된다. 회전수를 분당 값 그대로 넣으면 각속도가 60배 어긋난다.
압축률은 체적탄성계수의 역수다. 체적탄성계수가 큰 유체일수록 압축하기 어렵고, 압축률은 작아진다. 낙구식 점도계에서는 점성계수가 낙구 속도의 역수에 비례한다. 모세관에서 액체가 오르내리는 방향은 접촉각이 90도보다 작은지 큰지로 갈린다.
판단은 배율에서 갈린다. 0.9푸아즈는 0.09파스칼초이고, 밀도 950kg/m³로 나누면 약 0.947스토크다. 0.2 ÷ 800은 2.5×10⁻⁴m²/s, 0.08 ÷ 800은 1.0cm²/s다. 730kPa에서 1030kPa로 오르며 0.02m³가 0.019m³로 줄면 체적탄성계수는 6,000kPa이고, 2.1475×10⁹Pa의 물을 0.25% 압축하려면 약 5.37MPa가 필요하다. 3rpm 회전은 π/10rad/s로 바꿔야 토크 약 247N·m가 나온다. 압축률은 체적탄성계수의 역수이고, 낙구식에서 점성계수는 속도의 역수에 비례한다.
액체가 0.02m³의 체적을 갖는 강체의 실린더 속에서 730kPa의 압력을 받고 있다. 압력이 1030kPa로 증가되었을 때 액체의 체적이 0.019m³으로 축소되었다. 이때 이 액체의 체적탄성계수는 약 몇 kPa 인가?
정답 ④ · 체적탄성계수 K는 압력변화량(ΔP)을 체적변형률(ΔV/V)로 나눈 값입니다. ΔP = 1030 - 730 = 300kPa, 체적변형률 = (0.02 - 0.019) / 0.02 = 0.05입니다.
체적탄성계수는 압력 변화량을 체적 변형률로 나눈 값으로, 계산 결과 6000kPa이다.
유체의 점성계수는 온도의 상승에 따라 어떻게 변하는가?
정답 ④ · 온도 상승에 따른 액체와 기체의 점성계수 변화를 묻는 문제이다. 액체의 점성은 분자 간 인력이 주된 원인이므로 온도가 상승하면 인력이 약해져 점성이 감소한다.
액체는 분자 간 인력이 온도에 의해 약해져 점성이 감소하고, 기체는 분자 운동이 활발해져 점성이 증가한다.
길이가 2m 이고 반경이 각각 50cm, 51cm인 두 개의 동심실린더 사이에 유체가 채워져 있다. 바깥쪽 실린더를 고정시키고 안쪽 실린더를 3rpm으로 회전시키는데 필요한 토크는 약 몇 Nㆍm인가? (단, 유체는 점성계수가 5Nㆍs/m² 인 Newton 유체이며, 유체 유동은 속도 분포가 선형적인 Couette 유동이라고 가정한다.)
정답 ② · 쿠에트 유동(Couette flow) 가정에 따라 전단응력은 점성계수와 속도구배의 곱으로 계산되며, 토크는 전단력에 반지름과 면적을 곱해 산정합니다. 안쪽 실린더 표면적 A = 2πRL, 속도 V = rω 등을 대입하고 뉴턴의 점성 법칙을 적용하여 회전에 필요한 토크를 계산하면 약 247 N·m로 도출됩니다.
Couette 유동에서 토크 T는 점성계수, 면적, 속도, 반지름을 이용해 T = μA(rω)r 공식으로 계산하며, 선형 속도 분포를 가정한다.
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