개념 한 쪽
좌굴 세트는 오일러 공식 Pcr=π²EI/Le² 하나로 모인다. 유효길이계수 K는 양단 힌지 1·양단 고정 0.5·고정-자유 2이고, 단면 2차모멘트는 원형 πd⁴/64·사각 b⁴/12로 좌굴은 약축 방향 값을 쓴다. 한계 세장비 λ=π√(E/σB), 원형 단면 회전반경 r=d/4도 정형 문항이다.
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출제기준 단원 「편심하중을 받는 단주」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 임계하중 계산 | 1 | 양단힌지 장주의 오일러 식 임계하중 구하기 |
| 세장비 길이 비 | 1 | 세장비가 같을 때 단면 모양별 기둥 길이 비 |
| 목재 장주 하중 | 1 | 정사각 단면 목재 장주의 좌굴 하중 계산 |
오일러 좌굴 계산은 K와 I 조합이다. 유효길이 Le=KL에서 양단 힌지·회전단은 K=1, 양단 고정은 K=0.5, 한쪽 고정 한쪽 자유는 K=2다. 단면 2차모멘트는 원형이 πd⁴/64, 정사각형이 b⁴/12이고 직사각형은 약축(얇은 쪽을 높이로) 기준 bh³/12를 쓴다 — 좌굴은 최소 강성축 방향으로 일어나기 때문이다. 수치로 확인하면 지름 0.1 m·길이 15 m 양단 힌지 강주(E=200 GPa)는 약 43 kN, 지름 2 cm·1 m 양단 고정은 Le=0.5 m로 약 62.1 kN, 같은 치수의 양단 회전단은 K=1로 약 15.5 kN, 30×30 mm 정사각·1 m·210 GPa 양단 힌지는 I=b⁴/12=6.75×10⁻⁸ m⁴에 약 140 kN, 30×20 mm 직사각·2 m·200 GPa 양단 힌지는 약축 I=2×10⁻⁸ m⁴로 약 9.9 kN이다. K를 0.5와 1을 바꾸면 하중이 4배 어긋나는 것이 가장 흔한 오답 원인이다.
세장비 관련 공식도 같은 세트에 나온다. 회전반경은 r=√(I/A)로 원형 단면은 I=πd⁴/64·A=πd²/4를 넣어 d/4가 된다. 오일러 식을 적용할 수 있는 한계 세장비는 λ=π√(E/σB)다 — E=200 GPa·좌굴응력 320 MPa이면 π×25≈78.5에 지지조건 계수를 곱한 78.5√n이다. 목재 장주(200×200 mm·5 m·E=10 GPa 양단 힌지)처럼 재료만 바꾼 대입 문항도 같은 패턴이다.
출제 패턴은 세 가지다. ① K·I 조합 — 지지조건으로 K를, 좌굴축(약축)으로 I를 골라 Pcr=π²EI/Le²에 넣는다. ② 역산 — 임계응력 식에서 L/r을, 한계 세장비는 λ=π√(E/σB)를 쓴다. ③ 함정 — 직사각 단면에서 큰 축 I를 쓰거나, K를 잘못 곱해 4배(힌지↔고정) 어긋난 값, 원형 단면 I를 πd⁴/32(극관성)로 쓴 값이 단골 오답이다. 단위는 m·Pa로 통일한다.
지름이 0.1m이고 길이가 15m인 양단힌지의 원형강 장주의 좌굴임계하중은 몇 kN인가? (단, 장주의 탄성계수는 200GPa이다.)
정답 ① · 양단힌지 지지를 가진 원형 단면 장주의 오일러 좌굴하중을 계산하는 문제이다. 양단힌지 조건에서 유효길이계수 K = 1이므로 유효길이는 15m이다.
양단힌지 좌굴임계하중은 P=π²EI/L²로 계산하며, 원형 단면의 관성모멘트 I=πd⁴/64를 대입하여 43kN을 구한다.
양단 한지로 된 목재의 장주가 200mm x 200mm의 정사각형 단면을 가질 때 좌굴 하중은 약 몇 kN인가? (단, 길이 ℓ=5m, 탄성계수 E=10GPa, 오일러 공식을 적용한다.)
정답 ③ · 오일러 좌굴 하중 공식 P_cr = π^2EI / (Le)^2을 사용합니다. 양단 힌지 지지이므로 유효길이 Le는 실제 길이 L과 같습니다.
오일러 좌굴 하중 공식 P_cr=π²EI/(Le)²에 각 값을 대입하여 좌굴 하중을 계산한다.
탄성계수 E=200GPa, 좌굴음력 σB=320MPa인 강제 기둥에 오일러(Euler) 공식을 적용할 수 있는 한계 세장비는? (단, n은 양단지지 상태에 따른 좌굴 계수이다.)
정답 ② · 오일러 좌굴 공식은 장주기둥에 적용되며, 재료의 비례한도 응력 이내에서만 성립합니다. 한계 세장비는 비례한도 응력(여기서는 좌굴응력 σB)에서 탄성좌굴이 발생하기 시작하는 임계 세장비를 의미합니다.
한계 세장비 공식 λ=π√(E/σB)에 E=200GPa, σB=320MPa를 대입하여 계산하면 78.5√n이 된다.
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