직경이 1.2m, 두께가 10mm인 구형 압력용기가 있다. 용기 재질의 허용 인장응력이 42MPa일 때 적정 사용 내압은 몇 MPa인가?
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정답과 해설 보기
정답 ② · 구형 압력용기의 허용 사용 내압을 구하는 문제이다. 구형 용기에서는 어느 방향으로나 인장응력이 σ=pD/(4t)로 나타나므로 내압은 p=4σt/D로 계산한다.
구형 용기 내압 공식 P=2σt/Dr에 허용응력, 두께, 직경을 대입하여 계산한다.
개념 한 쪽
일반기계기사 주응력과 최대전단응력 — 압력용기 응력·모어 원 관계·안전 설계
주응력 세트는 「응력 조합 계산 × 모어 원 관계」가 축이다. 원통·구형 용기의 막응력, 평면응력의 주응력·최대 전단응력 공식이 반복된다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「주응력과 최대전단응력」의 공개 문제 2개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 내압 역산 | 1 | 구형 용기의 허용응력에서 내압 구하기 |
| 설계 역산 | 1 | 허용인장응력 조건의 최대 안전내경 |
뜻
용기 응력부터 잡는다. 얇은 원통 용기의 후프응력은 σ=PD/2t, 축방향 응력은 PD/4t다. 구형 용기는 σ=Pd/4t로 두 방향이 같다 — 허용응력에서 내압을 거꾸로 구하는 유형이 정형이다. 벽 두께는 t=PD/2σ로 설계한다.
평면응력·모어 원이 둘째 축이다. 평면응력에서 최대 전단응력은 두 수직응력의 평균을 축으로 하는 원의 반지름, 즉 응력 차 절반의 제곱과 전단응력 제곱 합의 제곱근이다. 최대·최소 주응력은 평균 응력에 반지름을 더하고 뺀 값이다. 주평면에서는 전단응력이 0이 된다. 경사면의 수직응력은 σn=σxcos²θ+σysin²θ로 구한다. 2축 인장 시 탄성계수 대신 E/(1-ν²)가 들어간 유효 강성을 쓴다. 열구속 응력은 σ=EαΔT, 외팔보의 변형에너지는 하중·길이·EI로 구한다(예: 약 3.2J).
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 용기 설계 — P=2σt/D, t=PD/2σ로 내압·두께·지름을 역산한다. ② 모어 원 — 주응력(평균±R), 최대 전단응력(R)을 계산한다. ③ 경사면 — σn 식에 각도를 대입한다.
대표 기출 3문항
판 두께 3mm를 사용하여 내압 20kN/cm²을 받을 수 있는 구형(spherical) 내압용기를 만들려고 할 때 이 재료의 허용 인장응력을 σv=900kN/cm²으로 하여 이 용기의 최대 안전내경 d를 구하면 몇 cm인가?
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정답과 해설 보기
정답 ① · 구형 압력 용기의 얇은 벽에 발생하는 인장 응력은 σ = (p × r) / (2t) 공식으로 구합니다. 허용 인장 응력 σv=900kN/cm², 내압 p=20kN/cm², 두께 t=0.3cm 조건을 바탕으로 최대 안전 내경을 구해야 합니다.
구형 용기 응력 σ=pr/2t 공식을 직경 d=2r로 변환하여 푼다.
지름이 1.5m인 두께가 얇은 원통용기에 1.6MPa의 압력을 갖는 가스를 넣으려고 한다. 필요한 벽 두께는 최소 몇 cm인가? (단, 허용응력은 80 MPa이다.)
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- 6.67
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정답과 해설 보기
정답 ③ · 얇은 원통 용기의 최소 벽 두께를 허용접선응력 조건으로 계산하는 문제이다. 얇은 원통의 접선(호프) 응력은 σ = PD/2t로 표현되며, 이를 t에 대해 정리하면 t = PD/(2σ)가 된다.
얇은 원통의 접선응력 σ=PD/2t이므로, 허용응력 조건 t=PD/2σ를 대입하여 최소 두께를 계산한다.
자주 묻는 물음
- 얇은 원통 용기의 후프응력 공식은 무엇인가요?
- σ=PD/2t입니다. 축방향 응력은 그 절반인 PD/4t입니다.
- 평면응력에서 최대 전단응력은 어떻게 구하나요?
- 두 수직응력 차 절반의 제곱과 전단응력 제곱을 더해 제곱근을 취합니다. 모어 원의 반지름에 해당합니다.
- 주평면에서 전단응력은 얼마인가요?
- 0입니다. 주응력은 전단응력이 0인 면에 작용합니다.
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