단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수의 비는?
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정답과 해설 보기
정답 ② · 단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수 비를 계산하는 문제이다. 단면적 A가 같을 때 원의 단면 계수 Z1 = πd³/32이고, d = √(4A/π)로 표현된다.
단면적 같을 때 원과 정사각형의 단면 계수 비는 약 1:1.18이다.
개념 한 쪽
일반기계기사 부정정보 — 고정단 모멘트·처짐 비·에너지 정리
부정정보 세트는 「고정단 조건이 주는 이점」이 중심이다. 양단 고정보의 고정단 모멘트 ωℓ²/12, 처짐 1/4(5:1), 카스틸리아노 정리가 반복된다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「부정정보」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 모멘트 계산 | 1 | 양단 고정보의 최대 모멘트 위치와 크기 |
| 처짐 비 판별 | 1 | 고정보와 단순보의 처짐 비율 |
| 정리 적용 | 1 | 카스틸리아노 정리로 처짐 구하기 |
뜻
고정단 조건부터 잡는다. 양단 고정보가 등분포하중을 받으면 고정단 모멘트는 ωℓ²/12, 중앙 모멘트는 ωℓ²/24로 나뉜다. 최대 모멘트는 고정단에서 발생한다. 최대 처짐은 같은 하중의 단순지지보에 비해 1/4 수준이고, 두 보의 처짐 비는 5:1로 나타낸다.
계산 도구가 둘째 축이다. 부정정보의 처짐·반력은 카스틸리아노 정리(변형에너지의 하중 미분=변위)나 모어 정리로 구한다. 외팔보 끝 처짐은 하중·길이·EI를 처짐 공식에 대입해 구한다(예: 약 2.79cm). 단면적이 같은 원형·정사각형 단면의 단면계수 비는 약 1:1.18이고, 응력이 2배가 되면 단위 체적 변형에너지는 4배가 된다. 두 하중의 비 W/P는 모멘트 평형에서 8/3처럼 구하고, 순수굽힘 보의 표면 응력은 σ=3Edδ/2L²로 표현된다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 고정단 모멘트 — ωℓ²/12와 최대 모멘트 위치를 묻는다. ② 처짐 비 — 1/4, 5:1을 적용한다. ③ 도구 — 카스틸리아노 정리로 처짐을 구하는 원리를 확인한다.
대표 기출 3문항
카스틸리아노(Castigliano)의 정리를 옳게 설명한 것은?
- 변형 에너지는 주어진 힘에 비례한다.
- 변위는 변형과는 무관하다.
- 변형 에너지의 힘에 관한 도함수는 변위이다.
- 변형 에너지의 모멘트에 관한 도함수는 변위이다.
정답과 해설 보기
정답 ③ · 카스틸리아노의 정리에 대한 정의를 묻는 문제이다. 카스틸리아노 제2정리에 따르면 변형 에너지 U를 하중 P에 대해 미분한 값은 그 하중이 작용하는 방향의 변위 δ와 같다.
카스틸리아노 정리는 변형 에너지의 힘에 대한 도함수가 해당 힘 방향의 변위임을 말한다.
길이 ℓ인 양단 고정보에 등분포하중(ω)이 작용할 때, 최대 굽힘 모멘트가 일어나는 위치와 그 크기는?
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ/24
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ2/12
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/24
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/12
정답과 해설 보기
정답 ④ · 양단 고정보가 등분포하중을 받을 때 최대 굽힘 모멘트의 위치와 크기를 묻는 문제이다. 양단 고정보의 굽힘 모멘트는 고정단에서 ωℓ²/12, 보의 중앙에서 ωℓ²/24로 나타나며, 두 값의 절대값을 비교하면 고정단 모멘트가 중앙 모멘트의 2배로 더 크다.
양단 고정보는 중앙 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/24, 고정단 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/12이다.
자주 묻는 물음
- 양단 고정보의 고정단 모멘트는 얼마인가요?
- 등분포하중일 때 ωℓ²/12입니다. 중앙은 ωℓ²/24로 고정단이 최대입니다.
- 부정정보의 처짐을 구하는 대표 정리는 무엇인가요?
- 카스틸리아노 정리입니다. 변형에너지를 하중으로 미분하면 하중 방향 변위가 됩니다.
- 부정정보로 만들면 처짐이 어떻게 되나요?
- 단순지지보보다 작아집니다. 양단 고정보의 최대 처짐은 1/4 수준(비 5:1)입니다.
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