개념 한 쪽
처짐 세트는 보 공식과 에너지 법이 축이다. 외팔보 끝 집중하중 처짐은 δ=PL³/3EI, 등분포 단순보는 δ=5wL⁴/384EI이며 양단 고정보는 같은 하중에서 처짐이 1/4(등분포에서는 1/5)이다. 변형에너지는 응력 제곱에 비례하고 카스틸리아노 정리는 U를 힘으로 미분하면 변위다.
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출제기준 단원 「곡률, 변형률 및 굽힘 모멘트관계」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단면계수 비 | 1 | 단면적이 같은 원과 정사각형의 단면계수 비 |
| 정리 뜻 판별 | 1 | 카스틸리아노 정리의 내용 고르기 |
| 최대 모멘트 위치 | 1 | 양단 고정보 등분포하중의 최대 모멘트 위치와 크기 |
처짐 공식은 보 형식과 하중으로 외운다. 외팔보 자유단 집중하중은 δ=PL³/3EI(분모에 3, 길이 세제곱), 균일분포하중의 자유단 처짐은 WL³/8EI로 계수가 갈라진다 — 두 처짐이 같으려면 W/P=8/3이어야 한다. 등분포 단순보 최대 처짐은 δ=5wL⁴/384EI로 강성 EI에 반비례하고 길이의 4승에 비례하며, 단면 2차모멘트 I=bh³/12는 높이의 3승에 비례한다. 수치 대입은 단위 통일이 전부다 — 폭 4 cm·높이 8 cm·길이 1 m 외팔보 끝에 30 kN, E=210 GPa면 I=2.73×10⁻⁷ m⁴에 δ≈2.79 cm이고, 6×10 cm·100 cm·10 kN이면 약 0.317 cm다. 처짐에서 바로 굽힘응력을 구하는 유형은 σ=3Edδ/2L²로 정리된다 — E=200 GPa·d=2 cm·δ=2 cm·L=1 m이면 120 MPa이다.
지지조건 비교는 계수비로 묶는다. 양단 고정보는 양단 지지(단순)보보다 강성이 4배라 같은 중앙 집중하중에서 처짐이 1/4 — 고정보가 10 cm 처졌다면 단순보는 40 cm다. 등분포하중에서는 단순보 5wL⁴/384EI 대 고정보 wL⁴/384EI로 비 5:1이다. 에너지 법도 같은 세트에 나온다. 단위 체적당 변형에너지는 응력의 제곱에 비례해(u∝σ²) 응력이 2배가 되면 4배가 되고, 외팔보 자유단을 처짐 δ로 만드는 최소 일은 U=½(3EI/L³)δ²다 — 한 변 2 cm 정사각 단면·L=50 cm·E=200 GPa·δ=1 cm이면 약 3.2 J다. 카스틸리아노 정리는 변형에너지 U를 힘 P로 미분하면 그 힘 방향의 변위 δ가 된다는 것으로, 모멘트로 미분하면 회전각이 된다.
출제 패턴은 세 가지다. ① 공식 대입 — δ=PL³/3EI에 I=bh³/12, E는 Pa·L은 m로 통일. ② 비율 판단 — 고정:단순 처짐 비 1:4(집중)·1:5(등분포), W/P=8/3. ③ 함정 — 처짐을 E에 비례한다고 적거나 길이 4승을 3승으로 쓴 선지, 변형에너지를 응력에 선형 비례로 쓴 선지가 단골 오답이다. 카스틸리아노는 「미분하면 변위」 한 줄로 정리된다.
카스틸리아노(Castigliano)의 정리를 옳게 설명한 것은?
정답 ③ · 카스틸리아노의 정리에 대한 정의를 묻는 문제이다. 카스틸리아노 제2정리에 따르면 변형 에너지 U를 하중 P에 대해 미분한 값은 그 하중이 작용하는 방향의 변위 δ와 같다.
카스틸리아노 정리는 변형 에너지의 힘에 대한 도함수가 해당 힘 방향의 변위임을 말한다.
길이 ℓ인 양단 고정보에 등분포하중(ω)이 작용할 때, 최대 굽힘 모멘트가 일어나는 위치와 그 크기는?
정답 ④ · 양단 고정보가 등분포하중을 받을 때 최대 굽힘 모멘트의 위치와 크기를 묻는 문제이다. 양단 고정보의 굽힘 모멘트는 고정단에서 ωℓ²/12, 보의 중앙에서 ωℓ²/24로 나타나며, 두 값의 절대값을 비교하면 고정단 모멘트가 중앙 모멘트의 2배로 더 크다.
양단 고정보는 중앙 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/24, 고정단 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/12이다.
탄성 한도내에서 인장 하중을 받는 막대에 발생하는 응력이 2배가 되면 단위 체적속에서 저장되는 변형 에너지는 몇배가 되는가? (단, 탄성계수는 일정함)
정답 ④ · 탄성 한도 내에서 응력이 배가될 때 단위 체적당 변형 에너지가 몇 배가 되는지를 묻는 문제이다. 단위 체적당 변형 에너지는 u = σ²/2E로 응력의 제곱에 비례하므로, 응력이 2배가 되면 에너지는 2² = 4배가 된다.
단위 체적당 변형에너지는 응력의 제곱에 비례하므로 응력 2배 시 에너지는 4배가 된다.
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