개념 한 쪽
굽힘 세트는 「지지조건별 최대 모멘트 공식 × 단면계수」 조합이 축이다. 외팔보 끝 하중은 PL, 단순보 중앙 집중하중은 PL/4, 양단 고정 중앙 집중하중은 PL/8이고 σ=M/Z에 사각 단면 Z=bh²/6·원형 Z=πd³/32를 넣어 계산한다. 허용응력에서 하중을 거꾸로 구하는 역산 문항도 정형이다.
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출제기준 단원 「굽힘 모멘트 선도」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 허용응력 역산 | 1 | 허용 굽힘응력 조건을 만족하는 보 길이의 상한 구하기 |
| 단면계수 계산 | 1 | 원형 단면의 단면계수 공식에 지름 대입 |
| 굽힘응력 계산 | 1 | 2차모멘트와 높이를 넣어 최대 굽힘응력 구하기 |
지지조건별 최대 굽힘 모멘트부터 고른다. 외팔보 자유단 집중하중은 M=PL이고, 단순보 중앙 집중하중은 PL/4, 양단 고정보 중앙 집중하중은 PL/8, 양단 고정보 등분포하중은 고정단에서 ωℓ²/12(중앙은 ωℓ²/24로 고정단이 2배)다. 굽힘응력은 σ=M/Z다. 사각 단면은 Z=bh²/6, 정사각 단면은 Z=b³/6, 원형 단면은 Z=πd³/32다 — 폭 120 mm·높이 160 mm 단면에 20.5 kN·m면 Z=512,000 mm³으로 σ≈40 MPa이고, M=8 kN·m를 60 MPa로 제한하는 정사각 단면은 b=(6M/σ)^(1/3)≈9.3 cm다. 등분포하중 단순보는 M=ωL²/8를 쓴다 — ω=200 N/m·L=2 m·3×4 cm 단면이면 M=100 N·m, Z=8×10⁻⁶ m³에 σ=12.5 MPa이다.
계산이 두 단계로 이어지는 유형도 같은 세트에 나온다. I형강처럼 단면 2차모멘트가 주어지면 σ=My/I 또는 Z=I/y를 쓴다 — I=250 cm⁴·높이 20 cm·M=2,500 N·m면 y=100 mm를 넣어 100 MPa이다. 원통에 감은 강선의 굽힘응력은 σ=E(y/ρ)로, 강선 반지름 y=3 mm·원통 반경 ρ=0.6 m·E=200 GPa면 1,000 MPa이다. 전단응력은 단면 계수로 나뉜다 — 정사각 단면의 최대 전단응력은 평균의 1.5배(τ=1.5V/A), 원형은 4/3이라 허용 150 N/mm²·한 변 5 mm 정사각 단면의 최대 전단력은 V=150×25/1.5=2,500 N이다.
역산 문항은 허용응력 조건을 식에 맞추는 것이다. 양단 고정보 중앙 하중은 PL/8=σZ에서 P=8σZ/L — σ=80 MPa·Z=0.01 m³·L=2 m이면 P=3,200 kN이다. 목제 외팔보는 PL=σZ에서 P=σZ/L — Z=0.003 m³·15 MPa·3 m이면 15 kN이다. 단순보 중앙 집중하중 원형 단면은 σ=8PL/πd³로 정리해 L=πd³σ/8P — d=10 cm·15 MPa·2 kN이면 약 294.5 cm다.
출제 패턴은 세 가지다. ① 공식 조합 — 지지조건 모멘트(PL·PL/4·PL/8·ωL²/8)를 σ=M/Z에 맞춘다. ② 역산 — σZ에서 P 또는 L을 구한다. ③ 함정 — 양단 고정을 PL/4로, 정사각 전단 계수 1.5를 빼먹거나 원형 단면 Z를 πd⁴/64(2차모멘트)와 혼동한 값이 단골 오답이다. 단위는 kN·m를 N·mm로 바꿀 때 10⁶을 곱하는 것이 관문이다.
지름 10cm의 양단 지지보의 중앙에 2kN의 집중 하중이 작용할 때 최대굽힘응력이 15MPa 이내가 되도록 하려면 보의 길이는 몇 cm이하로 하면 되겠는가?
정답 ② · 양단 지지보의 중앙에 집중 하중이 작용할 때 최대 굽힘 모멘트는 M = PL/4입니다. 굽힘 응력 식 σ = My/I를 이용하여 식을 정리하면 L = (σZ)/(0.25P)입니다.
단순보 중앙 집중하중 시 최대굽힘응력 공식 σ=3PL/πd³을 변형하여 길이 L=πd³σ/3P로 계산한다.
단면의 2차모멘트가 250 cm4인 I 형강 보가 있다. 이 보의 높이가 20 cm이고 굽힘모멘트가 2500 Nㆍm을 받을 때 최대 굽힘응력은 몇 MPa 인가?
정답 ② · 주어진 굽힘모멘트와 단면 2차모멘트로부터 최대 굽힘응력을 구하는 문제이다. 굽힘응력 공식 σ = M·y/I를 적용하며 단위를 통일한다.
굽힘응력은 '굽힘모멘트×중심거리÷2차모멘트' 공식으로 계산하며, 단위를 MPa로 맞추면 정답을 쉽게 구할 수 있다.
단면계수가 0.01m인 사각형 단면의 양단 고정보가 2m의 길이를 가지고 있다. 중앙에 최대 몇 kN의 집중하중을 가할 수 있는가? (단, 재료의 허용 굽힘응력은 80 MPa이다.)
정답 ④ · 양단 고정보의 중앙 집중하중 허용 크기를 굽힘응력 조건에서 구하는 문제이다. 양단 고정보에 중앙 집중하중이 작용할 때 최대 굽힘모멘트는 M=PL/8이다.
양단 고정 중앙 집중하중의 최대 굽힘모멘트는 PL/8이므로, 허용응력 공식 σ=M/Z를 이용해 하중 P를 역산한다.
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