단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수의 비는?
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- 1: 1.18
- 1 : 2.36
- 1 : 4.68
정답과 해설 보기
정답 ② · 단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수 비를 계산하는 문제이다. 단면적 A가 같을 때 원의 단면 계수 Z1 = πd³/32이고, d = √(4A/π)로 표현된다.
단면적 같을 때 원과 정사각형의 단면 계수 비는 약 1:1.18이다.
개념 한 쪽
일반기계기사 전단류 — 보 이론 계산·고정단 모멘트·변형에너지
전단류 세트의 문항은 보의 굽힘·처짐 계산으로 흐른다. 단면계수 비, 카스틸리아노 정리, 양단 고정보의 모멘트와 처짐이 축이다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「전단류」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 정비 계산 | 1 | 하중비를 모멘트 평형으로 구하기 |
| 정리 판별 | 1 | 카스틸리아노 정리의 내용 고르기 |
| 모멘트 계산 | 1 | 양단 고정보 등분포하중의 최대 모멘트 |
뜻
보의 기본 계산부터 잡는다. 단면적이 같은 원형과 정사각형 단면의 단면계수 비는 약 1:1.18이다. 카스틸리아노 정리는 변형에너지를 하중으로 미분하면 그 하중 방향의 변위가 된다는 정리다. 양단 고정보가 등분포하중을 받을 때 고정단의 최대 모멘트는 ωℓ²/12로 단순지지보의 중앙 모멘트보다 작다.
에너지·처짐 계산이 둘째 축이다. 재료 내 응력이 2배가 되면 단위 체적당 변형에너지는 4배가 된다. 외팔보 끝의 처짐은 하중·길이·단면 2차모멘트를 처짐 공식에 넣어 구한다 — 예를 들어 약 2.79cm 같은 값이 나온다. 양단 고정보와 단순지지보의 최대 처짐 비는 1:5로 고정보가 1/4 수준이다. 등분포하중을 받는 단순지지보의 최대 처짐은 5ωℓ⁴/(384EI)다. 순수굽힘을 받는 보 표면의 응력은 곡률 반경과의 관계식 σ=3Edδ/2L² 꼴로 표현된다. 두 하중의 비 W/P는 모멘트 평형에서 8/3처럼 구한다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 정리·정의 — 카스틸리아노 정리, 단면계수 비를 고른다. ② 처짐 계산 — 고정·단순보 공식(1/4, 5:1)을 적용한다. ③ 에너지 — 응력 2배 → 에너지 4배 관계를 확인한다.
대표 기출 3문항
길이 ℓ인 양단 고정보에 등분포하중(ω)이 작용할 때, 최대 굽힘 모멘트가 일어나는 위치와 그 크기는?
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ/24
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ2/12
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/24
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/12
정답과 해설 보기
정답 ④ · 양단 고정보가 등분포하중을 받을 때 최대 굽힘 모멘트의 위치와 크기를 묻는 문제이다. 양단 고정보의 굽힘 모멘트는 고정단에서 ωℓ²/12, 보의 중앙에서 ωℓ²/24로 나타나며, 두 값의 절대값을 비교하면 고정단 모멘트가 중앙 모멘트의 2배로 더 크다.
양단 고정보는 중앙 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/24, 고정단 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/12이다.
탄성 한도내에서 인장 하중을 받는 막대에 발생하는 응력이 2배가 되면 단위 체적속에서 저장되는 변형 에너지는 몇배가 되는가? (단, 탄성계수는 일정함)
- 1/2배
- 2배
- 1/4배
- 4배
정답과 해설 보기
정답 ④ · 탄성 한도 내에서 응력이 배가될 때 단위 체적당 변형 에너지가 몇 배가 되는지를 묻는 문제이다. 단위 체적당 변형 에너지는 u = σ²/2E로 응력의 제곱에 비례하므로, 응력이 2배가 되면 에너지는 2² = 4배가 된다.
단위 체적당 변형에너지는 응력의 제곱에 비례하므로 응력 2배 시 에너지는 4배가 된다.
자주 묻는 물음
- 카스틸리아노 정리는 무엇인가요?
- 변형에너지를 하중으로 편미분하면 그 하중 작용점의 하중 방향 변위가 된다는 정리입니다.
- 양단 고정보와 단순지지보의 최대 처짐 비는?
- 1:5입니다. 양단 고정보의 최대 처짐이 단순지지보의 1/4 수준(비로 5:1)이라는 뜻으로 같이 정리됩니다.
- 응력이 2배가 되면 변형에너지는 어떻게 되나요?
- 4배가 됩니다. 단위 체적당 변형에너지가 응력의 제곱에 비례하기 때문입니다.
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