단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수의 비는?
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정답과 해설 보기
정답 ② · 단면적이 같은 원과 정사각형의 단면 계수 비를 계산하는 문제이다. 단면적 A가 같을 때 원의 단면 계수 Z1 = πd³/32이고, d = √(4A/π)로 표현된다.
단면적 같을 때 원과 정사각형의 단면 계수 비는 약 1:1.18이다.
개념 한 쪽
일반기계기사 보의 처짐 — 처짐 공식·고정-단순 비교·응력-변형률
처짐 세트는 「처짐 공식 적용 × 지점 조건 비교」가 뼈대다. 단순지지보의 5ωℓ⁴/(384EI), 고정보의 1/4 배, 카스틸리아노 정리가 반복된다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「보의 처짐」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 처짐 계산 | 1 | 외팔보 끝의 처짐량 구하기 |
| 정리 판별 | 1 | 카스틸리아노 정리의 내용 고르기 |
| 비율 판별 | 1 | 고정보와 단순지지보의 처짐 비 |
뜻
처짐 계산부터 잡는다. 등분포하중을 받는 단순지지보의 최대 처짐은 5ωℓ⁴/(384EI)다. 외팔보 끝 처짐은 하중·길이·EI를 공식에 넣어 구한다. 양단 고정보의 최대 처짐은 같은 조건 단순지지보의 1/4 수준으로, 비로 5:1로 나타낸다. 처짐 공식의 ℓ은 4제곱으로 들어가므로 길이가 늘면 처짐이 급격히 커진다.
관련 정리와 응력 계산이 둘째 축이다. 카스틸리아노 정리는 변형에너지의 하중 미분이 변위라는 정리로, 처짐을 구하는 데 폭넓게 쓰인다. 단면적이 같은 원형과 정사각형의 단면계수 비는 약 1:1.18이다. 응력이 2배가 되면 단위 체적 변형에너지는 4배가 된다. 두 하중의 비 W/P는 모멘트 평형에서 구하고(예: 8/3), 순수굽힘 보의 표면 응력은 σ=3Edδ/2L² 꼴로 곡률과 연결된다. 보의 설계에서는 허용응력·단면계수·모멘트가 서로 역산 관계로 묶인다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 공식 적용 — 5ωℓ⁴/(384EI)에 값을 대입한다. ② 조건 비교 — 고정보 처짐 1/4, 비 5:1을 묻는다. ③ 정리 — 카스틸리아노 정리의 내용을 고른다.
대표 기출 3문항
길이 ℓ인 양단 고정보에 등분포하중(ω)이 작용할 때, 최대 굽힘 모멘트가 일어나는 위치와 그 크기는?
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ/24
- 위치: 보의 중앙, 크기 ωℓ2/12
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/24
- 위치: 고정단, 크기 ωℓ2/12
정답과 해설 보기
정답 ④ · 양단 고정보가 등분포하중을 받을 때 최대 굽힘 모멘트의 위치와 크기를 묻는 문제이다. 양단 고정보의 굽힘 모멘트는 고정단에서 ωℓ²/12, 보의 중앙에서 ωℓ²/24로 나타나며, 두 값의 절대값을 비교하면 고정단 모멘트가 중앙 모멘트의 2배로 더 크다.
양단 고정보는 중앙 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/24, 고정단 최대 굽힘모멘트가 ωℓ²/12이다.
탄성 한도내에서 인장 하중을 받는 막대에 발생하는 응력이 2배가 되면 단위 체적속에서 저장되는 변형 에너지는 몇배가 되는가? (단, 탄성계수는 일정함)
- 1/2배
- 2배
- 1/4배
- 4배
정답과 해설 보기
정답 ④ · 탄성 한도 내에서 응력이 배가될 때 단위 체적당 변형 에너지가 몇 배가 되는지를 묻는 문제이다. 단위 체적당 변형 에너지는 u = σ²/2E로 응력의 제곱에 비례하므로, 응력이 2배가 되면 에너지는 2² = 4배가 된다.
단위 체적당 변형에너지는 응력의 제곱에 비례하므로 응력 2배 시 에너지는 4배가 된다.
자주 묻는 물음
- 등분포하중을 받는 단순지지보의 최대 처짐 공식은?
- 5ωℓ⁴/(384EI)입니다. 길이가 4제곱으로 들어가 길이 영향이 가장 큽니다.
- 양단 고정보의 처짐이 단순지지보보다 얼마나 작나요?
- 1/4 수준입니다. 두 처짐의 비는 5:1로 나타내기도 합니다.
- 처짐을 에너지로 구하는 정리는 무엇인가요?
- 카스틸리아노 정리입니다. 변형에너지를 하중으로 미분하면 하중 방향 변위가 됩니다.
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