비틀림 모멘트 T, 극관성 모멘트를 IP, 축의 길이를 L, 전단탄성계수를 G 라 할 때, 단위 길이당 비틀림각은?
- TG/IP
- T/GIP
- L2/IP
- T/IP
정답과 해설 보기
정답 ② · 축의 비틀림에 관한 공식에서 단위 길이당 비틀림각을 구하는 문제이다. 축 전체 길이 L에 대한 비틀림각은 θ = TL/(GIP)로 주어진다.
비틀림각 공식 θ=TL/GJ에서 단위 길이당 각은 θ/L=T/GJ이다.
개념 한 쪽
일반기계기사 비틀림 — θ=TL/GJ·τ=Tc/J·동력 토크 T=9550P/N 계산
비틀림 세트는 두 공식과 동력-토크 변환이 전부다. 비틀림각은 θ=TL/GJ(단위 길이당은 T/GJ), 최대 전단응력은 τ=Tc/J이며 축 동력 문제는 T=9550P/N(kW·rpm)으로 토크를 먼저 구한다. 중공축의 극관성 모멘트 J=π/32(D⁴−d⁴) 계산과 rad↔도 환산이 실수 포인트다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「비틀림 모멘트, 강성, 변형에너지」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 모멘트 역산 | 1 | 최대 전단응력 조건의 비틀림 모멘트 |
| 비틀림각 식 선택 | 1 | 단위 길이당 비틀림각 식 고르기 |
| 전단응력 계산 | 1 | 비틀린 각도에서 막대의 최대 전단응력 |
뜻
비틀림각 공식 θ=TL/GJ가 문항의 축이다. 단위 길이당 비틀림각은 L을 나눠 T/GJ가 되고, 거꾸로 토크는 T=θGJ/L로 구한다 — 지름 200 mm 축이 2 m에서 1/15 rad 비틀렸다면 J=πd⁴/32≈1.571×10⁻⁴ m⁴, T=(1/15)×80 GPa×J÷2 m ≈ 418.9 kN·m이다. 동력 전달 축은 T=9550P/N으로 토크를 먼저 구한 뒤 같은 공식에 넣는다 — 10 kW·400 rpm·중공 60/40 mm·L=3 m·G=80 GPa면 T≈238.75 N·m, J≈1.021×10⁻⁶ m⁴로 θ≈0.00877 rad≈0.5°이고, 3.7 kW·600 rpm·지름 4 cm·3 m·G=84 GPa면 약 0.48°, 30 kW·100 rpm·지름 7 cm·1 m·G=83 GPa면 약 0.015 rad이다. rad를 도로 바꿀 때 180/π를 곱하는 것을 빠뜨리면 오답에 걸린다.
최대 전단응력은 τ=Tc/J다. 중공축은 J=π/32(D⁴−d⁴)로 — 바깥지름 8 cm·안지름 6 cm 축에 7,000 N·m면 J≈2.749×10⁶ mm⁴, c=40 mm를 넣어 τ≈101.9 MPa다. 축 설계 문제는 강도 조건(τ=Tc/J ≤ 허용 전단응력)과 강성 조건(θ=TL/GJ ≤ 허용 비틀림각)을 모두 검토해 더 엄격한 쪽이 지배한다 — 25 kN·m·3 m·90 MPa·2.5°·G=85 GPa 조건이면 외경 약 146 mm·내경 약 124 mm가 최소 치수다. 긴 축일수록 비틀림각(강성) 조건이 지배적이다.
45° 방향 변형률을 묻는 응용도 나온다. 순수 비틀림 상태에서 축 표면 45° 나선 방향의 주응력은 전단응력 τ와 같고 그 주변형률은 전단변형률의 절반이므로 G=τ/(2ε)로 전단탄성계수를 구한다 — 지름 4 cm 봉에 120 N·m일 때 45° 게이지가 150×10⁻⁶을 읽으면 τ=Tc/J를 거쳐 약 31.8 GPa다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 연쇄 계산 — T=9550P/N → J=πd⁴/32 또는 π/32(D⁴−d⁴) → θ=TL/GJ → rad×180/π. ② 공식 변형 — 「단위 길이당」이면 분모의 L이 사라져 T/GJ, 토크를 구하려면 T=θGJ/L. ③ 함정 — J 계산에서 지름의 4승 차(D⁴−d⁴)를 2승으로 계산하거나 GPa를 Pa로 바꾸지 않아 10⁹배 어긋난 값, 도→rad 환산을 빠뜨린 값이 단골 오답이다.
대표 기출 3문항
바깥지름 8cm, 안지름 6cm의 속이 빈 축에 7000N∙m의 비틀림 모멘트가 작용하고 있다. 이 때 발생하는 최대 비틀림 응력을 구하면 몇 MPa인가?
- 43.8
- 53.8
- 63.8
- 101.9
정답과 해설 보기
정답 ④ · 중공 원형 축에 비틀림 모멘트가 작용할 때 최대 비틀림 전단 응력을 구하는 문제이다. τ = Tc/J 공식을 적용하며, 중공 축의 극단면 이차 모멘트는 J = (π/32)(D⁴ - d⁴)이다.
속이 빈 축의 최대 비틀림 응력 τ=Tc/J 공식을 사용하여 계산하면 101.9MPa가 된다.
지름 200mm인 축이 120rpm으로 회전되고 있다. 2m 떨어진 두 단면에서 측정한 비틀림 각이 1/15rad이었다면 이 축에 작용하고 있는 비틀림 모멘트는 약 몇 kNm인가? (단, 전단 탄성계수는 80GPa이다.)
- 418.9
- 356.6
- 605.7
- 286.8
정답과 해설 보기
정답 ① · 비틀림각 측정값으로부터 축에 작용하는 비틀림 모멘트를 구하는 문제이다. 비틀림 공식 φ=TL/GJ를 T에 대해 정리하면 T=φGJ/L가 된다.
비틀림 각 φ=TL/GJ 공식을 변형하여 T=φGJ/L로 계산하면 약 418.9kNm이 된다.
자주 묻는 물음
- 단위 길이당 비틀림각은 어떻게 구하나요?
- 비틀림각 θ=TL/GJ에서 길이 L으로 나눈 T/GJ입니다. 「단위 길이당」은 분모의 L이 사라진다는 신호로, G나 T가 빠진 식은 공식 차원부터 맞지 않습니다.
- 동력으로 회전하는 축의 비틀림각은 어떤 순서로 구하나요?
- T=9550P/N(kW, rpm)으로 토크를 구하고, J=πd⁴/32(중공축은 π/32(D⁴−d⁴))를 계산해 θ=TL/GJ에 대입한 뒤 마지막에 180/π를 곱해 도로 바꿉니다. 10 kW·400 rpm·중공 60/40 mm·3 m·G=80 GPa면 약 0.5°입니다.
- 중공축의 최대 비틀림 전단응력은?
- τ=Tc/J에 J=π/32(D⁴−d⁴), c=바깥지름의 절반을 넣습니다. 바깥지름 8 cm·안지름 6 cm·7,000 N·m이면 약 101.9 MPa입니다.
이 개념 문제 10개 풀기 회원용
일반기계기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.