개념 한 쪽
일 계산 세트는 과정별 공식 하나씩이 축이다. P-V 선도에서 직선 과정의 일은 사다리꼴 면적, 폴리트로픽(PV^n=일정) 과정은 일 w=R(T1−T2)/(n−1)을 축으로 T2를 먼저 구하고 ΔU=mCvΔT를 잇는다, 등온 팽창은 W=mRT ln(P1/P2), 정압 과정은 W=mRΔT·Q=mCpΔT다. 단위 환산(N/cm²→Pa, ℃→K)이 사고의 절반이다.
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출제기준 단원 「일과 열의 정의 및 비교」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 팽창 일량 계산 | 1 | 등압 과정에서 체적 변화로 구한 일량 |
| 열평형 계산 | 1 | 고온 금속과 물의 열수지로 평형 온도 |
| 상태량 판별 | 1 | 정압에서 흡수한 열과 같은 상태량 고르기 |
P-V 선도에서 일은 곡선 아래 면적이다. 과정이 직선이면 사다리꼴 공식으로 압축일의 크기 W=(P1+P2)/2×(V1−V2)를 구한다 — 압력 1 N/cm²(=10⁴ Pa)·체적 0.5 m³를 2 N/cm²·0.3 m³로 압축하면 외부에서 받는 일이 (10,000+20,000)/2×0.2=3,000 N·m다. 폴리트로픽 과정(PV^n=일정)은 최종 온도를 먼저 구한다 — 100 kPa·1 m³의 공기 1 kg(R=287 J/kg·K)이 n=1.3으로 체적 0.5 m³까지 압축되면 T1=348.3 K, T2=T1(V1/V2)^(n−1)=348.3×2^0.3≈428.9 K이고 내부에너지 변화는 ΔU=mCvΔT=718×80.6≈57.9 kJ다(Cv·Cp 구분: 내부에너지는 Cv, 엔탈피는 Cp). 압축 중 일과 열을 함께 묻는 문항은 열역학 제1법칙으로 묶는다 — 100 kPa·300 K 공기를 n=1.3으로 400 kPa까지 압축하면 T2=300×4^0.231≈474.1 K, 일 w=R(T1−T2)/(n−1)≈−166.2 kJ/kg, Δu=0.717×174.1≈124.6 kJ/kg에 열 q=Δu+w≈−41.6 kJ/kg다.
등온 팽창은 로그가 붙는다 — W=mRT ln(P1/P2)로 1 MPa·250 ℃(523 K)의 공기 1 kg이 0.2 MPa까지 팽창하면 0.287×523×ln5≈242 kJ이고, 단위 질량당으로는 200 kPa·비체적 0.02 m³/kg인 공기가 등온으로 100 kPa까지 팽창할 때 w=P1v1 ln(P1/P2)=200×0.02×ln2≈2.77 kJ/kg이다. 정압 과정은 체적 비가 온도 비와 같다는 것(V2/V1=T2/T1)이 열쇠다 — 150 ℃ 공기 0.2 kg이 체적 2배로 팽창하면 ΔT=T1=423 K라 W=mRΔT=0.2×0.287×423≈24.3 kJ이다. 정압 과정의 열량은 Q=mCpΔT다 — 50 ℃ 기체 1 kg(Cp=1.0 kJ/kg·K)이 체적 2배가 되면 절대온도가 323→646 K로 ΔT=323 K라 1×1.0×323=323 kJ이다.
출제 패턴은 세 가지다. ① 과정 판별 — 직선=사다리꼴, PV^n=일정=폴리트로픽(다변), 등온=ln, 정압=mRΔT. ② 착수 순서 — 다변 과정은 T2부터, 정압은 ΔT를 V 비로. ③ 함정 — N/cm²를 Pa로 바꾸지 않은 값, ℃를 K로 바꾸지 않고 250을 그대로 넣은 값, Cv와 Cp를 바꿔 쓴 ΔU·ΔH가 단골 오답이다.
압력 1 N/cm², 체적 0.5 m³ 인 기체 1 kg을 가역적으로 압축하여 압력이 2 N/cm², 체적이 0.3m³로 변화되었다. 이 과정이 압력 - 체적(P-V)선도에서 직선적으로 나타났다면 필요한 일의 양은?
정답 ② · P-V 선도에서 직선 과정의 압축 일을 사다리꼴 면적으로 계산하는 문제이다. 먼저 단위를 통일해야 하는데 1 N/cm² = 10000 Pa이므로 P1=10000 Pa, P2=20000 Pa이다.
P-V 선도에서 직선 과정의 일은 사다리꼴 면적으로 계산하며, 단위 환산에 주의한다.
질량 1 kg의 공기가 밀폐계에서 압력과 체적이 100 kPa, 1m³ 이었는데 폴리트로픽 과정을 거쳐 체적이 0.5m³ 이 되었다. 최종 온도와 내부에너지의 변화량은 각각 얼마인가? (단, 공기의 R=287J/kg K, Cv=718J/kg K, Cp=100J/kg K, k=1.4, n=1.3이다.)
정답 ④ · 폴리트로픽 과정의 상태 방정식과 상태 방정식 PV=mRT를 이용하여 최종 온도 T2를 구합니다. 먼저 초기 온도 T1 = P1V1/mR = (100 kPa * 1 m³) / (1 kg * 0.287 kJ/kgK) = 348.4 K입니다.
폴리트로픽 관계식 T2=T1(V1/V2)^(n-1)로 온도를 구한 후, △U=mCv△T로 내부에너지 변화량을 계산한다.
온도 150℃, 압력 0.5MPa의 공기 0.2kg이 압력이 일정한 과정에서 원래 체적의 2배로 늘어난다. 이 과정에서의 일은? (단, 공기의 기체 상수는 0.287 kJ/kgK이다.)
정답 ④ · 정압 과정에서 기체가 한 일은 W = P × ΔV 로 계산되며, 기체 상수를 이용하면 W = m × R × ΔT 또는 m × R × (T2 - T1) 로도 표현할 수 있습니다. 체적이 2배로 팽창했으므로 샤를의 법칙에 의해 절대온도도 2배가 됩니다.
정압 과정에서 체적이 2배가 되면 절대온도도 2배가 되므로, 이를 이용해 일을 계산한다.
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