개념 한 쪽
종단곡선은 도로와 철도의 오르막·내리막이 만나는 지점을 부드럽게 연결하는 형태이고, 설계에서는 곡선길이·접선장·종거 등을 공식으로 계산하여 위치와 치수를 정한다. 완화곡선과 원곡선의 구분, 기울기의 부호 취급, 그리고 각 공식의 대입과 반올림 처리가 핵심이다.
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출제기준 단원 「종곡선 계산 및 이용」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 접선장 계산 | 1 | 반지름과 두 기울기에서 접선장 T를 구하기 |
| 원화곡선 종류 판별 | 1 | 완화곡선으로 쓰이지 않는 곡선 식별하기 |
| 종거 계산 | 1 | 주어진 x와 R로 종거 y를 계산하기 |
종단곡선은 노선의 세로 방향에서 경사가 바뀌는 지점을 완만하게 이어 주는 곡선이다. 수평곡선과는 달리 종단곡선은 수직면상에서 경사(상하)를 완화하기 때문에 종단·수직이라는 표현이 붙는다는 점을 구분하여 이해한다.
종단곡선을 원곡선으로 설치할 때 곡선길이 L은 반지름 R과 두 기울기의 대수적 차 A의 곱으로 구한다. 식은 L = R × |i₂ − i₁| 또는 L = R × A로 표현하며, 기울기에는 상향은 양수, 하향은 음수 부호를 붙여 대수적으로 계산한다.
곡선시점(BVC)과 교점(IP) 사이의 거리는 곡선길이의 절반인 접선장 T 또는 L/2가 된다. 접선장 공식은 T = R × A / 2 또는 T = L/2로 정리되며, 문제에서 묻는 거리가 곡선 전체 길이인지 시점~교점 거리인지 문장으로 확인해야 한다.
종거(y)는 곡선 시점으로부터 수평거리 x만큼 떨어진 지점에서 접선(경사선)과 곡선 사이의 수직거리이다. 원곡선에 의한 종거의 공식은 y = x² / (2R)로 주어지며, x와 R을 대입해 소수 자릿수 반올림까지 계산한다.
완화곡선(원화곡선)은 직선과 원곡선을 부드럽게 연결하기 위한 곡선으로 클로소이드, 3차 포물선, 램니스케이트가 실제로 쓰인다. 2차 포물선은 주로 종단곡선(수직곡선)에 쓰이며 완화곡선 목록에는 포함되지 않는다.
예 1 — 접선장 계산: 상향기울기 +20/1000, 하향기울기 −40/1000, 반경 R = 1,000m일 때 기울기 변화량 A = 0.02 − (−0.04) = 0.06이므로 곡선길이 L = R×A = 1,000×0.06 = 60m이고 접선장 T = L/2 = 30m이다. 핵심은 기울기에 부호를 붙여 대수적으로 차이를 구하고 L = RΔg, T = L/2 공식을 순서대로 적용하는 것이다.
예 2 — 종거 계산: 반경 R = 3,000m에서 종단곡선 시점으로부터 수평거리 x = 40m인 지점의 종거 y는 y = x²/(2R) = 40²/(2×3,000) = 1,600/6,000 ≈ 0.267m이므로 반올림하여 0.27m가 된다. 대표적 함정은 분모의 2를 빠뜨려 x²/R으로 계산하는 실수이므로 공식을 정확히 외우고 반올림까지 확인해야 한다.
상향구배 20/1,000, 하향구배 40/1,000 인 두 직선이 반경 1,000m의 단곡선 중에서 교차할 때 접선장은?
정답 ② · 단곡선이 두 직선 구배와 만나는 교차점의 접선장(T)을 구하는 공식은 T = R * tan(I/2) 입니다. 두 경사 구배가 각각 +20/1000, -40/1000이므로 이들의 교각(I)은 20/1000 + 40/1000 = 60/1000 = 0.06 라디안이 됩니다.
접선장 T = R(g₁−g₂)/2 = 1,000×0.06/2 = 30m이다.
원화곡선으로 쓰이지 않는 것은?
정답 ③ · 철도나 도로의 완화곡선으로 주로 사용되는 곡선은 클로소이드(Clothoid) 곡선, 3차 포물선, 램니스케이트(Lemniscate) 곡선 등이 있습니다. 이는 직선 구간과 원곡선 구간 사이에서 곡률을 점진적으로 변화시켜 주행 안정성을 확보하기 위함입니다.
완화곡선용은 클로소이드·3차 포물선·램니스케이트이고 2차 포물선은 종단곡선용이다.
원곡선에 의한 종단곡선에서 반경 3000m의 종단곡선을 설치할 경우 종단곡선 시점으로부터 수평거리 40m인 지점에서 경사선과 종단곡선간 수직거리(종거)는 얼마인가?
정답 ② · 종단곡선상의 한 지점에서 경사선과 곡선 사이의 수직거리인 종거를 계산하는 문제이다. 종거 y는 시점으로부터의 수평거리 x와 곡선반경 R에 대해 y = x²/(2R)로 계산된다.
종단곡선 종거 y = x²/(2R)이므로 40²/(2×3000) = 0.267 ≈ 0.27m이다.
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