개념 한 쪽
교통통계 문제에서는 확률분포와 표본추정 공식, 그리고 첨두시간 특성 지표를 이용해 가설을 검정한다는 관점으로 접근한다. 대표 유형은 이항분포를 적용한 사건 횟수 확률 계산, 첨두시간계수(PHF) 계산, 그리고 차두시간의 분포모형 선택 문제이다. 문제 해결에는 분포의 성질과 표본 또는 구간별 값을 공식에 맞춰 대입하는 절차가 핵심이다.
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출제기준 단원 「가설의 검정」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 이항분포 단일 확률 계산 | 1 | 주어진 n과 p로 특정 성공횟수 확률을 계산하라는 문제 |
| 첨두시간계수 계산 | 1 | 시간교통량과 최대 15분값으로 PHF를 산정하라는 문제 |
| 차두시간 분포 모형 선택 | 1 | 최소차두시간 조건을 반영한 적절한 확률모형을 고르라는 문제 |
이항분포 문제는 각각의 시행이 성공 또는 실패로 나뉘고 시행 수가 정해져 있을 때 특정 성공 횟수의 확률을 구하는 분포 모형을 의미한다. 공식은 P(X=k)=nCk·p^k·(1-p)^(n-k)이며, n과 k, 성공확률 p를 정확히 식에 대입해 계산하면 된다. 결괏값 산출 시 조합 계산과 소수 거듭제곱 계산을 정확히 처리해야 한다.
첨두시간계수(PHF)는 한 시간 동안의 교통량이 특정 15분 구간에 얼마나 집중되어 있는지를 나타내는 지표이다. 계산 공식은 PHF = (1시간 교통량) ÷ (4 × 최대 15분 교통량)로 표준화되어 있다. PHF는 보통 1보다 작게 나오며, 값이 클수록 교통량이 고르게 분포했음을 의미한다.
차두시간(Headway)은 앞차와의 시간 간격을 말하며, 연속적인 시간 값의 확률분포로 모델링한다. 무작위 도착 가정 하에서는 차두시간이 음의 지수 분포(Negative Exponential Distribution)를 따르는 것이 교통류 이론의 기본이다. 다만 최소안전 차두시간이 존재하면 이를 반영해 시작점이 이동된 시프트된 음의 지수 분포를 사용해야 한다.
이들 유형은 각각의 분포나 지표의 정의와 공식을 기억하고 상황에 맞게 적용하는 것으로 문제를 푼다는 공통 원리를 가진다. 계산 결과가 정수 표본 수를 요구하면 소수점은 올림 처리를 해야 한다는 실무적 유의사항을 잊지 말아야 한다.
이항분포 예시는 n=10, p=0.3, k=3일 때 P(X=3)=10C3·0.3^3·0.7^7을 계산하는 방식으로 풀이한다. 10C3=120, 0.3^3=0.027, 0.7^7≈0.08235를 곱하면 약 0.267이 된다.
PHF 계산 예시는 1시간 교통량이 1500대이고 최대 15분 교통량이 450대일 때 PHF = 1500 ÷ (4 × 450) = 1500 ÷ 1800 ≈ 0.833...으로 소수 둘째 자리에서 반올림하면 0.83이 된다.
차두시간 분포 선택 예시는 최소안전차두시간 T0가 존재하면 일반 음의 지수 분포 대신 T0만큼 시프트된 음의 지수 분포를 사용해야 한다는 판단으로 해결한다.
어떤 특정한 법칙없이 T형 교차로의 한 방향에 도착하는 차량의 70%가 좌회전하고 나머지는 우회전 한다고 한다. 10대의 차량이 한 방향에 도착했을때 정확히 3대가 우회전할 확률은 얼마인가?
정답 ② · 문제는 이항분포를 적용해 10대 중 정확히 3대가 우회전할 확률을 구하는 것이다. 성공확률이 우회전 0.3인 이항분포에서 확률은 조합수 10C3에 p^3(0.3^3)과 (1-p)^(7)(0.7^7)을 곱하여 계산하며, 이를 계산하면 약 0.267이 된다.
이항분포 공식을 적용하여, 10대 중 3대가 우회전할 확률은 10C3 × 0.3^3 × 0.7^7로 계산된다.
한 가로의 첨두시간 교통량이 1500대/시간, 이 첨두시간 중 15분간의 최대교통량이 450대이었다. 이 가로의 첨두시간 계수(peak-hour factor)는?
정답 ② · 문제는 첨두시간 계수를 PHF 정의에 따라 계산하라고 요구하고 있다. 첨두시간 계수는 시간당 교통량을 15분 최대교통량의 4배로 나눈 값이므로 PHF = V/(4·V15이다.
첨두시간 계수(PHF)는 시간교통량을 4배한 15분 최대교통량으로 나누어 계산한다.
차두시간은 최소안전 차두시간보다 작을 수가 없다는 논리로 차두 시간의 분포모형을 산정하는데 적합한 확률모형은?
정답 ③ · 문제는 차두시간이 최소안전 차두시간보다 작을 수 없다는 조건을 반영할 분포모형을 묻고 있다. 이처럼 하한값 T0가 존재하는 경우에는 원점에서 시작하는 일반 음의 지수분포 대신 하한이 이동된 시프트된 음의 지수분포를 사용해야 한다.
차두시간은 최소안전차두시간보다 작을 수 없으므로, 이를 반영한 시프트된 음의 지수 분포가 적합하다.
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