개념 한 쪽
교통량과 차량 간격의 통계적 특성은 계수분포와 간격분포로 나뉘며, 포아송분포·지수분포·이항분포 등이 교통공학 문제의 핵심 분포로 쓰인다. 평균과 분산 관계, 단위 시간 변환, 누적확률 합산 등의 계산 절차를 익혀 문제에 적용한다.
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출제기준 단원 「계수분포의 확률법칙」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 차두시간 이상 확률 계산 | 1 | 평균 간격 도출 후 지수함수로 특정 시간 이상 확률 계산하기 |
| 설계시간 교통량 선정 | 1 | AADT와 계수들을 이용해 설계시간 교통량 및 필요 차로수 판단하기 |
| 포아송 누적확률 계산 | 1 | 평균과 분산 비교로 포아송 적용 후 k 이하 누적확률 합산하기 |
계수분포는 단위 시간 또는 구간 내에 발생하는 사건의 횟수를 설명하는 확률분포를 의미한다. 대표적으로 포아송분포, 음이항분포, 기하분포가 계수분포에 속한다. 교통량을 단위 시간 동안 몇 대가 통과했는지를 모델링할 때 계수분포를 적용한다.
포아송분포는 사건이 무작위로 독립적이며 평균이 일정한 경우의 계수분포로 사용한다. 평균과 분산이 거의 같을 때 포아송분포를 가정해 확률을 계산한다. 특정 개수 이하의 도착확률은 해당 값까지의 확률을 모두 더해 누적확률을 구한다.
차두시간과 같은 간격분포는 계수분포와 쌍을 이루는 개념이다. 포아송 과정을 따르는 교통류에서 사건 간 시간 간격은 지수분포를 따른다. 평균 간격을 먼저 구한 뒤 지수함수 exp(-t/h)를 써서 특정 시간 이상일 확률을 계산한다.
개별 시행에서 성공 확률이 주어진 경우 횟수 분포는 이항분포로 모델링한다. 성공확률이 0.5인 이항분포는 대칭성을 가지므로, 시행횟수의 중앙값을 기준으로 누적확률을 쉽게 유추할 수 있다.
교통공학 적용에서는 단위 변환과 보정계수 적용이 중요하다. 예컨대 시간당 교통량을 분단위 평균으로 변환하거나, 하루 AADT를 방향별·시간별 계수와 PHF 등으로 단계적으로 줄여 설계시간 교통량을 산출하는 절차를 반드시 따른다.
- 포아송 누적확률 계산 사례: 평균 λ=1.7일 때 2대 이하 도착확률은 P(0)+P(1)+P(2)를 더해 약 0.7573이 된다. 계산 절차는 각 항에 P(k) = λ^k e^-λ / k! 공식을 대입하여 합산하는 것이다.
- 지수분포로 차두시간 확률 계산 사례: 시간당 360대이면 평균 차두시간 h=10초이다. 차두시간이 1초 이상일 확률은 exp(-1/10) ≒ 0.9048로 계산한다.
- 포아송 단일 확률 사례: 시간당 1,200대이면 분당 λ=20이고, 1분 동안 정확히 20대가 도착할 확률은 P(20) = (20^20 e^-20)/20! ≒ 0.089임을 확인한다.
어느 도로에 시간당 360대의 교통량이 있을 경우 차두 간격이 1초 이상될 확률을 구하면?
정답 ④ · 교통량이 시간당 360대일 때, 교통류의 평균 차두시간 간격(h)은 3600초 / 360대 = 10초/대가 됩니다. 차두 간격이 1초 이상 될 확률은 포아송 분포를 따르며 P(h ≥ 1) = exp(-1/10)으로 계산됩니다.
차두시간 간격이 t초 이상일 확률은 지수분포 exp(-t/h)로 계산한다.
다음 중 일반적으로 설계시간 교통량으로 사용되는 것은 무엇인가?
정답 ① · 설계시간 교통량(Design Hourly Volume, DHV)은 도로의 설계 기준이 되는 시간당 교통량으로, 일반적으로 1년(8760시간) 동안의 교통량을 크기순으로 정렬하였을 때 30번째로 큰 시간당 교통량(30th Highest Hourly Volume)을 사용합니다. 이는 경제성과 교통 서비스 수준의 적정 balance를 맞추기 위한 기준입니다.
설계시간 교통량은 경제성과 서비스 수준 균형을 위해 연중 30번째 많은 시간당 교통량을 기준값으로 사용한다.
어떤 지역간 도로의 목표년도 AADT가 60,000대로 추정되었다. 이 교통량을 어떤 계획서비스 수준(v/c=0.70)으로 처리하기 위해서는 몇 차로 도로가 되어야 하는가? (단, 설계시간계수(K)=0.15, 중방향 계수(D)=0.6, 차로용량=2,200 pcphpl, PHF = 0.95, 중차량 보정계수(fhv)=0.95, 차로폭 및 측방여유폭 보정계수(fw)= 1.0)
정답 ③ · 문항은 목표년도 AADT를 주고 주어진 계수들로 목표 서비스 수준(v/c=0.70)을 만족시키기 위한 차로 수를 계산하도록 요구한다. 방향별 설계교통량 Q = AADT × D × K / PHF × fhv × fw 계산에 따라 Q ≈ 60,000×0.6×0.15/0.95 ≈ 5,684 pcph가 되고, 이를 차로용량 2,200 pcphpl로 나누면 약 2.58차로가 필요하다.
방향별 설계교통량을 차로용량으로 나누어 최소 차로수를 계산하면 4차로다.
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