개념 한 쪽
국가기준점 관련 측량 문제는 계측오차 보정과 서로 다른 정밀도 자료의 통합 처리에 초점을 둔다. 도구의 길이 오차는 측정값을 비례적으로 보정하며, 서로 다른 표준오차를 가진 측정값은 오차의 제곱에 반비례하는 가중치로 합쳐 최확값을 구한다. 반복 관측의 전체 오차와 각·거리 허용오차의 단위 변환도 빈번히 출제된다.
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출제기준 단원 「국가기준점」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 서로 다른 정밀도 합성치 결정 | 1 | 오차가 다른 측정값들의 가중평균으로 최확값을 구하는 방법을 묻는다 |
| 테이프 길이 오차 보정 계산 | 1 | 테이프 길이 오차를 이용해 측정값을 보정하여 실제 거리를 구하는 절차를 묻는다 |
| 사면거리 보정으로 경사도 판정 | 1 | 사면거리 보정량으로부터 경사도를 근사하여 선택지 중 가장 가까운 값을 고르는 능력을 묻는다 |
여러 관측자가 동일한 물리량을 측정했을 때 신뢰도가 높은 측정값에 더 큰 비중을 주어 결합하는 방법은 가중평균이다. 이때 가중치는 표준편차의 제곱에 반비례하므로, 오차가 작을수록 가중치는 커진다. 따라서 오차가 절반이면 가중치는 4배가 된다는 직관을 활용하면 값의 기여도를 빠르게 판단할 수 있다.
줄자나 테이프 등의 길이 오차는 측정결과에 비례하여 보정해야 한다. 테이프가 표준보다 짧으면 같은 거리를 측정할 때 측정값이 실제보다 크게 나오므로 보정량을 빼야 하고, 줄자가 늘어났다면 측정값보다 실제가 더 크므로 측정값에 실제 길이 대 명목 길이의 비율을 곱해 보정한다. 보정식은 측정거리와 도구의 길이 오차 비율을 이용해 간단히 계산할 수 있다.
사면거리의 보정량을 이용해 경사도를 구하는 문제는 보정량 공식 적용으로 해결한다. 작은 보정량으로부터 경사비(또는 경사율)를 역으로 계산하면 약한 기울기 값을 얻을 수 있으며, 대표적인 예로 사면거리 50m에 보정량 1mm가 주어지면 경사도가 약 1/158 수준으로 산출되어 근사값으로 1/160을 선택하는 경우가 있다.
반복 관측에서 전체 평균값의 오차는 개별 관측의 오차에 관측 횟수의 제곱근을 곱한 값으로 평가한다. 동일 정밀도의 줄자를 여러 번 사용하여 긴 거리를 측정할 때는 관측 횟수를 먼저 산정한 뒤 단일 관측 오차 × √n 공식을 적용해 전체 오차를 구한다. 또한 거리 허용오차와 각 허용오차가 같다는 조건에서는 라디안과 초의 단위 변환을 통해 초 단위로 표현하는 계산이 필요하다.
대표 계산 1 — 최확값(가중평균) 계산 예시: 예를 들어 A의 측정값은 100.521 m(표준오차 0.030 m), B는 100.526 m(표준오차 0.015 m), C는 100.532 m(표준오차 0.045 m)일 때, 표준오차 제곱의 역수에 비례하는 가중치로 결합하면 표준오차가 가장 작은 B의 영향력이 가장 커져 최확값이 B의 값에 가깝게 형성된다.
대표 계산 2 — 테이프 오차 보정 예시: 30m 테이프가 표준보다 2cm(−0.02m) 짧고 측정값이 300m일 때, 보정량은 (e/l) × L로 계산한다. 여기서 e=−0.02m, l=30m, L=300m이므로 보정량은 −0.2m이고 실제 거리는 300 − 0.2 = 299.80m가 된다.
대표 계산 3 — 사면거리 경사도 근사: 사면거리 50m에서 보정량이 1mm(0.001m)일 때 보정량 공식으로 경사도를 역으로 계산하면 약 1/158이 되어 선택지 중 1/160이 가장 근접한 근사값이 된다.
A, B, C 3명이 동일조건에서 어떤 거리를 측정하여 다음의 결과를 얻었다면 최확값은 얼마인가? (100.521m±0.030m, 100.526m±0.015m, 100.532m±0.045m)
정답 ② · 정밀도가 다른 세 측정값으로부터 최확값을 구하는 문제이다. 최확값은 가중평균으로 구하며, 각 측정값의 가중치는 표준편차(오차)의 제곱에 반비례한다.
최확값은 측정값의 가중평균으로 구하며, 가중치는 표준편차의 제곱에 반비례한다.
30m의 테이프로 측정한 거리는 300m이었다. 이 때 테이프의 길이가 표준길이보다 2cm가 짧아 있었다면 이 거리의 정확한 값은?
정답 ① · 테이프 길이가 실제보다 짧게 측정되었다는 것은, 실제 거리보다 측정 횟수가 더 필요했다는 뜻이므로 실제 거리는 측정값보다 짧게 나와야 합니다. 정확한 거리를 구하는 공식은 C = L + (e/L) × L 입니다.
테이프 오차 보정 공식 C=L+(e/L)×L에 대입하면 실제 거리는 299.80m이다.
사면(斜面)거리 50m를 측정하는데 그 보정량이 1mm이라면 그 경사도(傾斜度)는 약 얼마인가?
정답 ③ · 사면거리 측정 시 수평거리로 보정하기 위한 경사도를 구하는 문제입니다. 경사거리(S)와 수평거리(H)의 관계는 H = S × cos(θ)이며, 보정량 C는 S - H = S(1 - cos(θ))로 정의됩니다.
보정량 공식으로 경사각을 계산하면 약 1/158이 되어 1/160에 가장 가깝다.
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