개념 한 쪽
그래픽 라이브러리는 CAD/CAM에서 기하학적 도형을 정의하고 다루는 기본 도구를 제공한다는 관점에서 설명한다. 곡선 표현 방식, 도형의 유일 결정 조건, 제어점과 조정점의 관계 등 기하학적 개념을 정확히 이해하면 모델링과 피팅 문제를 풀 수 있다.
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출제기준 단원 「그래픽 라이브러리」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| Bezier 성질 판별 | 1 | Bezier 곡선의 기본 성질을 구별하기 |
| 원의 유일 결정 조건 | 1 | 주어진 요소로 원이 유일 결정되는지 판정하기 |
| 용도별 용어 정의 | 1 | B-spline의 역변환 등 용어의 의미를 묻기 |
그래픽 라이브러리에서 자유 곡선은 주로 매개변수식(parametric equation)으로 표현한다는 점을 강조한다. 매개변수식은 x, y, z 좌표를 매개변수 t의 함수로 정의하므로 폐곡선이나 다중 값을 가지는 곡선을 자연스럽게 다룰 수 있다.
Bezier 곡선은 제어점 집합을 사용하여 정의하며 첫 번째와 마지막 제어점을 반드시 통과하고 볼록포(convex hull) 성질을 가진다고 설명한다. 차수는 제어점 수보다 하나 작은 값이 되며 전역 수정 특성을 가지므로 일부 설계 상황에서는 국부 수정성이 필요한 B-spline이나 NURBS보다 적합성이 떨어질 수 있다.
B-spline 곡선은 국부 수정성(local control)과 연속성 관리를 통해 곡선의 형태를 부분적으로 조정할 수 있는 특징을 가진다고 설명한다. B-spline은 원이나 타원과 같은 원추곡선을 정확하게 표현하지 못한다는 한계가 있으므로, 이를 보완하기 위해 NURBS가 도입되었다고 정리한다.
NURBS는 B-spline에 가중치(weight)와 동차 좌표를 도입해 일반화한 형태로, 가중치가 모두 1인 경우에 B-spline과 동일해진다는 포함 관계를 분명히 설명한다. Non-Uniform은 매듭(knots) 간격이 균일하지 않을 수 있음을 의미한다고 정리한다.
기하학적 도형의 유일 결정 조건도 그래픽 라이브러리의 중요한 부분이라고 기술한다. 예컨대 원은 중심과 반지름으로, 또는 원주상의 서로 다른 3점으로 유일하게 결정되지만 접선 하나만으로는 중심의 위치가 불명확하여 무수히 많은 원이 존재함을 명시한다.
Bezier 관련 문제에서는 제어점의 기본 성질을 확인한다. 예를 들어 제어점의 첫번째와 마지막 점을 통과한다는 특성과 볼록포 성질, 차수 관계를 확인하면 오답을 쉽게 제거할 수 있다.
B-spline과 NURBS 관계를 묻는 문제에서는 'NURBS = B-spline + 가중치'라는 식을 떠올려 NURBS가 더 일반적인 형태임을 근거로 정답을 도출한다. B-spline이 원이나 타원을 정확히 표현하지 못한다는 서술을 보고 이를 근거로 선택하거나 배제한다.
기하학적 유일 결정 문제에서는 주어진 요소가 도형을 유일 결정하는지 판단한다. 예컨대 원을 정하는 조건으로 중심+반지름, 중심+원주상 점, 원주상 3점은 충분하지만 접선 1개는 불충분하다는 논리를 적용한다.
B-spline의 조정점 추정 문제에서는 알려진 곡선상의 점들로부터 조정점이나 꼭지점 위치를 역으로 계산하는 과정을 역변환 또는 곡선 피팅이라고 지칭한다는 사실을 활용한다.
다음 중 Bezier 곡선을 설명하는 것이 아닌 것은?
정답 ④ · 문제는 베지에르 곡선의 성질 중 해당하지 않는 것을 고르는 것이다. 베지에르 곡선은 시작점과 끝점을 통과하고 볼록포(convex hull) 성질을 가지며 차수는 제어점 수-1로 결정되는 것이 맞다.
Bezier 곡선은 시작점과 끝점을 지나며 볼록포 성질을 가지지만, 접선 벡터만으로는 설계 작업의 적합성을 논할 수 없다.
평면상에서 하나의 원 (circle)을 기하학적으로 정의 하는 방법으로 맞지 않는 것은?
정답 ④ · 문제는 평면에서 하나의 원을 기하학적으로 유일하게 결정하는 조건을 묻는 것이다. 중심과 반지름, 중심과 원주상의 한 점(반지름으로 결정됨), 원주상의 세 점은 모두 유일한 원을 결정하는 충분조건이다.
원주는 원주상 3점, 중심과 반지름, 중심과 원주상 1점으로 uniquely 결정되나, 접선 하나만으로는 무수히 많은 원이 존재한다.
기하학적 형상 모델링에서 B-splinge 곡선의 성질 중 곡선상에 있는 몇 개의 점을 알고 있을 때 그에 따른 B-spline곡선의 꼭지점을 쉽게 알 수 있는데 이를 무엇이라 하는가?
정답 ② · B-스플라인 곡선과 같은 기하학적 모델링에서, 곡선 상의 점 데이터들을 알고 있을 때 이를 바탕으로 역으로 조정점(Control point) 또는 꼭지점의 위치를 수학적으로 추정해 내는 과정을 '역변환(Inverse transformation)' 또는 곡선 피팅(Curve fitting) 기법이라고 부릅니다. 이를 통해 디자이너는 원하는 형상을 얻기 위해 필요한 제어점의 위치를 직관적이고 수학적으로 쉽게 계산해 낼 수 있습니다.
B-spline 곡선에서 주어진 점 데이터를 바탕으로 조정점이나 꼭지점의 위치를 역으로 추정하는 과정을 역변환이라고 한다.
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