개념 한 쪽
평면상 곡선과 도형은 여러 수학적 표현 방법으로 정의하며, CAD와 CAM에서는 적절한 표현을 선택해 형상을 다룬다. 또한 곡면은 작은 단위 요소로 분할해 처리하고, B-spline과 NURBS 같은 기법은 곡선의 국부 조정성과 표현력을 좌우한다.
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출제기준 단원 「좌표계」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 곡면 분할 단위 용어 | 1 | 곡면을 사각형·삼각형 단위로 분할한 명칭을 묻는다 |
| NURBS 표현력 판별 | 1 | B-spline과 NURBS의 표현력 및 국부 조정성을 비교해 묻는다 |
| 원추곡선 일반식 판별 | 1 | ax²+bxy+cy²+dx+ey+g=0으로 표현되는 형상을 가려낸다 |
평면 곡선을 표현하는 표준 방식은 양함수(y=f(x)), 음함수(f(x,y)=0), 그리고 매개변수 형태(x=f(t), y=g(t))의 세 가지이다. 각 방식은 문제에 따라 편리성이 다르므로, 곡선의 성격에 맞는 표현을 선택해야 한다.
원의 경우 중심(a,b)과 반지름 C를 알고 있으면 거리 공식에서 출발해 (x-a)²+(y-b)²=C²로 쓴다. 이 식은 원 위의 점이 중심과 같은 거리에 있다는 정의를 직접 수식으로 옮긴 것이다.
원추곡선(conic)은 일반 2차식 ax²+bxy+cy²+dx+ey+g=0으로 표현된다. 이 일반식은 타원·포물선·쌍곡선 등 연속적인 곡선을 포함하며, 다각형과 같은 직선으로 이루어진 도형은 이 식으로 단일하게 표현되지 않는다는 점을 구분해야 한다.
곡면 모델링에서는 복잡한 표면을 작은 사각형 또는 삼각형 단위로 분할해 이어붙이는 방식을 사용한다. 이 분할 단위 면을 패치(patch)라 부르며, 수많은 패치를 연결해 매끄러운 곡면을 구성한다.
B-spline 곡선은 국부 수정(local modification)이 가능하고, 오더 k일 때 특정 매개변수에서 곡선 형상에 영향을 미치는 조정점 수는 k개이다. 오더와 차수의 관계는 오더 k → 차수 k-1로 정리할 수 있다. NURBS는 B-spline을 일반화한 형태로 가중치와 비균일 분포를 도입해 원 또는 타원 같은 원추곡선을 정확히 표현할 수 있어 더 다양하고 정밀한 곡선 표현이 가능하다.
예 1 — 곡면 분할 단위 문제: 복잡한 3D 표면을 컴퓨터로 표현할 때는 작은 사각형 또는 삼각형 조각을 이어붙인다. 이 조각들을 패치라 하며, 곡면 분할 단위를 묻는 문제에서는 '패치'가 정답이다.
예 2 — 평면 곡선 식 판별 문제: 중심이 (a,b)이고 반지름이 C인 원의 식은 (x-a)²+(y-b)²=C²이므로, 선택지 가운데 거리 제곱 식 형태인 항을 고르면 정답이 된다. 또 2차 일반식으로 표현되는 형상인지 묻는 문제에서는 타원·포물선·쌍곡선은 포함되지만 육각형과 같은 다각형은 제외한다.
형상 모델링에서는 기본적으로 곡면을 많은 사각형 또는 삼각형으로 분할하여 분할된 단위 곡면 요소들을 이어서 곡면을 표현하는데 이 사각형 또는 삼각형의 곡면 요소를 무엇이라고 하는가?
정답 ③ · 문제는 곡면을 작은 사각형 또는 삼각형 단위로 나누어 구성할 때 그 단위를 무엇이라 부르는지 묻고 있다. CAD/모델링에서 이러한 분할된 단위 면 요소는 패치(patch)라고 하며 각 패치를 이어 붙여 전체 곡면을 표현한다.
곡면을 사각형 또는 삼각형으로 분할한 단위 요소를 패치(patch)라고 한다.
B-spline 곡선을 보다 다양하게 표현하고 있는 곡선은?
정답 ③ · 문항은 B-spline 곡선보다 더 다양하게 표현 가능한 곡선을 묻고 있다. NURBS는 비균일(Non-Uniform)과 유리수(Rational) 가중치를 허용하는 B-spline의 일반화된 형태로, 원호 같은 정확한 기하와 자유곡선을 모두 정밀하게 표현할 수 있다.
NURBS는 비균일 라티스 B-spline의 약자로, Bezier나 일반 Spline보다 더 다양하고 정밀한 곡선 표현이 가능하다.
다음은 2차원에서 구성되는 원추곡선의 가장 일반적인 식이다. 이 일반식으로 표현되지 않는 형상은? ax2+bxy+cy2+dx+ey+g=0 (여기서 a,b,c,d,e,g 는 상수이다.)
정답 ④ · 문제는 2차식으로 표현되는 원추곡선의 일반식으로 나타낼 수 없는 도형을 묻고 있다. 2차 다항식의 평면 방정식은 타원, 포물선, 쌍곡선과 같은 원추곡선을 포함하지만 다각형은 2차 연속곡선으로 나타낼 수 없다.
원추곡선(타원, 포물선, 쌍곡선)은 2차 방정식으로 표현되나, 육각형은 다각형이므로 해당 식으로 표현되지 않는다.
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