개념 한 쪽
평면과 공간에서 점의 위치를 표현하는 방법은 여러 가지가 있다. 극좌표계는 평면에서 거리와 각도로, 원통 좌표계는 극좌표에 높이 z를 더한 형태로 점을 나타낸다. 직교(데카르트) 좌표계는 각도 대신 축 성분 x, y, z를 사용하므로 각도 값이 포함되지 않는다.
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출제기준 단원 「2차원 좌표변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 평면 좌표계 구분 | 1 | 거리와 각도로 표현되는 좌표계명을 고르기 |
| 원통→직교 변환식 적용 | 1 | 원통 좌표에서 직교 좌표로 변환하는 공식 적용하기 |
| 3차원 좌표계 종류 판별 | 1 | r, θ, z 조합을 사용하는 좌표계 이름을 판별하기 |
극좌표계는 2차원 평면상의 한 점을 원점으로부터의 직선 거리 r과 기준축과 이루는 각도 θ로 나타내는 좌표계이다. 원점과의 거리와 방향 각도로 위치를 지정하므로 거리와 각도의 조합으로 점을 표현한다.
원통 좌표계는 극좌표계(r, θ)에 수직 높이 z를 결합한 3차원 좌표계이다. 바닥면에서의 원형 위치를 r과 θ로 정하고, 수직 방향의 높이를 z로 표시하므로 원기둥 모양의 기하학적 구조를 다룰 때 유리하다.
직교 좌표계는 각 축(x, y, z)으로부터의 수직 거리를 사용하여 점의 위치를 정의하므로 각도 값을 사용하지 않는 좌표계이다. 따라서 각도 기반 표현이 요구되는 극좌표나 원통·구면 좌표와 구별된다.
원통 좌표계와 직교 좌표계 간 변환식은 r과 θ의 삼각관계를 이용한다. 원통 좌표 (r, θ, z)를 직교 좌표 (x, y, z)로 변환할 때 x = r cosθ, y = r sinθ, z = z의 관계를 사용한다. 이 변환식은 평면의 극좌표를 직교 성분으로 분해하는 기본 공식이다.
예1) 원통 좌표 (r, θ, z) = (5, 60°, 2)를 직교 좌표로 변환한다. 각 θ에 대해 cos60° = 0.5, sin60° = √3/2이므로 x = 5·0.5 = 2.5, y = 5·(√3/2) ≈ 4.330, z = 2가 된다. 따라서 직교 좌표는 약 (2.5, 4.330, 2)로 표현한다.
예2) 평면의 극좌표 (r, θ) = (3, 225°)를 직교 좌표로 변환한다. cos225° = −√2/2, sin225° = −√2/2이므로 x = 3·(−√2/2) ≈ −2.121, y = 3·(−√2/2) ≈ −2.121이 되어 직교 좌표는 약 (−2.121, −2.121)로 표현한다.
평면상에서 기준 직교축의 원점에서부터 점 P까지의 직선 거리(r)와 기준 직교축과 그 직선이 이루는 각도(θ)로 표시되는 좌표계를 무엇이라고 하는가?
정답 ② · 문항은 평면에서 한 점을 거리와 각도로 나타내는 좌표계를 묻고 있다. 평면상의 위치를 원점으로부터의 반지름 거리 r과 기준축과 이루는 각도 θ로 표현하는 좌표계는 극좌표계이다.
거리(r)와 각도(θ)로 위치를 정의하는 좌표계는 극좌표계이며, 직교좌표계(x,y)와 구별된다.
CAD 시스템에 의해 자료를 입력할 때 점(point)의 위치를 기준으로 입력하게 된다. 이 점들의 위치를 입력하기 위해서 원점에서부터 xy평면에서 점의 위치까지의 거리(r), 이 거리가 x축과 이루는 각도(θ), 높이(z) 값에 의해서 표시되는 좌표계 시스템을 무엇이라고 하는가?
정답 ④ · 원통 좌표계는 3차원 공간 상의 점의 위치를 원점으로부터의 거리(r), x축으로부터의 각도(θ), 그리고 z축 방향의 높이(z) 이렇게 세 가지 요소로 표현하는 좌표계입니다. 이는 2차원의 극 좌표계에 높이 개념인 z축을 추가한 형태와 같으므로, 원통형 모양의 좌표계를 형성하게 되어 CAD 시스템 등에서 원통 좌표계라고 부릅니다.
원통 좌표계는 반지름(r), 각도(θ), 높이(z)의 세 변수로 3차원 공간의 점을 정의하는 방식이다.
일반적으로 CAD 시스템에서 사용하는 좌표계의 종류가 아닌 것은?
정답 ③ · 질문은 일반 CAD 시스템에서 사용하는 좌표계 종류가 아닌 것을 묻고 있다. 직교 좌표계와 극 좌표계, 구면 좌표계는 CAD나 그래픽스에서 실제로 사용되는 좌표계이나 원뿔 좌표계는 일반적인 CAD 좌표계 유형으로 분류되지 않는다.
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