개념 한 쪽
CAD/CAM 환경에서는 여러 좌표계와 기하학적 변환을 이용해 모델과 공구경로를 정의한다는 사실을 이해해야 한다. 좌표계 변환은 극·구면·직교 등의 표현을 상호 변환하는 방식이며, 회전·이동·반사·크기변환 같은 기하학적 변환은 점의 위치를 바꾸는 규칙을 제공한다는 점을 숙지해야 한다.
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출제기준 단원 「3차원 좌표변환」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 극좌표→직교 변환 계산 | 1 | 극좌표값을 직교좌표로 바꾸는 계산 절차를 묻는다 |
| 원점 중심 90° 회전 변환 | 1 | 90° 회전 시 좌표 치환 규칙을 적용해 결과 좌표를 구하는 문제를 제시한다 |
| 2차원 회전 일반식 적용 | 1 | 회전 공식을 이용해 임의 각도 회전 후 좌표를 계산하는 문제를 출제한다 |
좌표계는 공간상의 점을 수치로 표현하는 체계이며, CAD 시스템에서 주로 사용하는 좌표계는 직교 좌표계( x, y, z ), 원통 또는 극 좌표계( r, θ, z ), 구면 좌표계( r, θ, φ )라는 점을 기억해야 한다는 사실을 이해한다. 원추 또는 특수 좌표계는 일반 상용 시스템의 표준으로 포함되지 않는 경우가 많다는 점을 명심한다.
기하학적 변환은 점 또는 도형의 위치와 형태를 바꾸는 연산이며, 이동(translation), 회전(rotation), 반사(reflection)은 도형의 거리를 보존하는 강체 변환(rigid transformation)에 해당한다는 점을 분명히 한다. 이러한 변환은 도형의 모양과 크기를 유지하면서 위치나 방향만 변경한다는 성질을 가진다.
반면 크기 변환(scaling)은 도형의 치수를 확대하거나 축소하므로 변환 전후에 점 간 거리가 달라질 수 있다는 점을 구분한다. 따라서 거리 보존 여부를 묻는 문제에서는 '크기 변환'을 비강체 변환으로 판별하면 된다는 원리를 적용한다.
2차원 회전 변환은 회전 행렬로 표현되며, 반시계 방향 회전의 기본 공식은 x' = x cosθ − y sinθ, y' = x sinθ + y cosθ 라는 식으로 정리된다는 점을 이해한다. 특히 정각(90° 등) 회전은 간단한 좌표 치환 규칙을 통해 빠르게 계산할 수 있다는 점을 숙지한다.
회전 공식 예시: 점 P(15, 20)을 원점을 기준으로 반시계 방향으로 30° 회전시키면 x' = 15×cos30° − 20×sin30° ≈ 15×0.866 − 20×0.5 = 2.99, y' = 15×0.5 + 20×0.866 ≈ 24.82 이 되어 회전 후 좌표는 약 (2.99, 24.82) 가 된다는 계산 절차를 보여준다.
정각 회전의 단순 규칙 예시: 반시계 방향 90° 회전은 (x, y) → (−y, x) 로 변환되며, 따라서 (3, 5) 는 (−5, 3) 으로, (6, 4) 는 (−4, 6) 으로 바뀐다는 사실을 적용하면 계산을 빠르게 완료할 수 있다는 팁을 제공한다.
극좌표에서 직교좌표로의 변환 예시: 극좌표 (r, θ) 에서 직교좌표는 x = r cosθ, y = r sinθ 이며, r=5, θ=90° 일 때 (0, 5) 가 됨을 확인한다는 방식으로 기본 공식을 적용할 것을 권고한다.
원점에서 극좌표로 r=5, θ=90° 만큼 이동한 점의 직교 좌표는?
정답 ① · 문제는 극좌표 r=5, θ=90°를 직교좌표로 변환하는 문제이다. 직교변환 공식은 x = r cosθ, y = r sinθ이며 θ=90°일 때 cos90°=0, sin90°=1이므로 결과는 x=0, y=5가 된다.
직교좌표(x,y)는 극좌표(r,θ)에서 x=r cosθ, y=r sinθ 공식으로 변환하며, 90도일 때 코사인은 0, 사인은 1이 된다.
점 P(3,5)를 원점을 중심으로 90°회전시킬 때 회전한 점의 좌표는? (단, 반시계 방향을 양(+)의 각으로 한다.)
정답 ② · 점 (3,5)를 원점을 중심으로 반시계 방향 90도 회전했을 때의 좌표를 구하는 문제이다. 원점 중심 반시계 90도 회전 변환은 (x,y)를 (-y,x)로 바꾸는 공식으로 처리된다.
원점 중심 90도 회전 시 (x,y)는 (-y,x)로 변환되므로 (3,5)는 (-5,3)이 된다.
점 P의 좌표가 x=6, y=4 일때 원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 90 ̊회전시킨 점 P` 는?
정답 ③ · 문제는 점 (6,4)를 원점을 기준으로 반시계방향으로 90도 회전시킨 좌표를 묻는 것이다. 반시계 90도 회전 변환은 (x,y)→(-y,x)이므로 (6,4)는 (-4,6)으로 변환된다.
원점을 중심으로 시계 반대 방향으로 90도 회전시키면 좌표 (x, y)는 (-y, x)로 변환된다.
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