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전기산업기사 유전체 도체계 에너지 — ½CV²·전원 분리 후 유전체 배수·도체구 2πεaV²

유전체가 낀 도체계의 에너지는 W = ½CV² = ½QV = Q²/2C다. 평행판 수치 계산이 절반이고, 나머지는 충전 뒤 전원을 끊은 상태(Q 일정)에서 유전체를 넣어 용량을 키우면 에너지가 줄어드는 배수 문제, 도체구의 에너지 식 유도다.

2026-10-20 기준 · 전기산업기사 대시보드

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시험에 이렇게 나온다

출제기준 단원 「유전체 내의 도체계의 에너지」의 공개 문제 7개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.

묻는 꼴문제 수무엇을 묻나
평행판 에너지 계산4C=ε₀εsS/d 뒤 ½CV² 산출
전원 분리 후 배수2Q 일정에서 유전체로 용량 증가 시 감소 배수
도체구 에너지 식1W=2πεaV² 유도

가장 자주 묻는 것은 평행판 에너지 계산입니다.

뜻

정전에너지는 W = ½CV² = ½QV = Q²/(2C) 세 형태다. 평행판에서는 먼저 C = ε₀εs S/d를 구하고 ½CV²에 대입한다. 극판 면적 10 [cm²](= 10×10⁻⁴ [m²]), 간격 1 [mm](= 10⁻³ [m]), 비유전율 3이면 C ≈ 2.66×10⁻¹¹ [F]이고, 100 [V]를 가하면 W = ½×2.66×10⁻¹¹×100² ≈ 1.32×10⁻⁷ [J]다. 이 문형은 수치를 바꿔 반복 출제되며, 지수에서 10⁻⁹을 답으로 파는 보기가 붙는다 — cm²·mm 환산이 정답 판가름한다.

충전한 뒤 전원에서 떼어내면 전하 Q는 일정하다. 이 상태에서 극판 사이에 유전체를 끼워 용량을 키우면 W = Q²/(2C)에서 분모가 커지므로 에너지는 줄어든다. 용량을 2배로 만들면 에너지는 1/2배, 10배로 만들면 1/10배다. 「용량이 커지니 에너지도 커진다」는 직관(½CV² 꼴로의 착각)이 오답 보기의 뿌리다 — 어떤 양이 고정돼 있는지(Q인지 V인지)를 먼저 정하고 공식을 고른다.

도체구의 에너지는 정전용량 C = 4πε₀a에서 유도한다. Q = CV = 4πε₀aV이므로 W = ½QV = ½(4πε₀aV)V = 2πε₀aV²다. 보기에 (1/(2πεa))V²·πεaV²·4πεaV²를 파는 것이 이 문항의 수법이고, 4πε에서 ½가 남긴 2π가 정답 계수다.

예제

① 평행판: S=10×10⁻⁴, d=10⁻³, εs=3 → C≈2.66×10⁻¹¹ [F] → W=½×C×100² ≈ 1.32×10⁻⁷ [J]. ② 전원 분리 후: Q 고정 → W=Q²/2C — C가 k배면 W는 1/k배(2배→1/2, 10배→1/10). ③ 도체구: W = 2πεaV².

대표 기출 3문항

극판의 면적 S=10cm², 간격 d=1mm의 평행판 콘덴서에 비유전율 εs=3인 유전체를 채웠을 때 전압 100V를 인가하면 축적되는 에너지는 약 몇 J 인가?

  1. 0.3×10⁻⁷
  2. 0.6×10⁻⁷
  3. 1.3×10⁻⁷
  4. 2.1×10⁻⁷
정답과 해설 보기

정답 ③ · 평행판 콘덴서의 정전용량은 C=ε0εsSdC=\dfrac{\varepsilon_0\varepsilon_s S}{d}이다. S=10 cm2=10×10−4 m2S=10\,\text{cm}^2=10\times10^{-4}\,\text{m}^2, d=1 mm=10−3 md=1\,\text{mm}=10^{-3}\,\text{m}, εs=3\varepsilon_s=3을 대입하면 C=8.855×10−12×3×10×10−410−3≈2.66×10−11 FC = \dfrac{8.855\times10^{-12}\times3\times10\times10^{-4}}{10^{-3}} \approx 2.66\times10^{-11}\,\text{F}.

W=½CV²이고, C=ε₀εₛS/d에 대입하면 C≈2.66×10⁻¹¹F이라 W≈1.3×10⁻⁷J이 된다.

유전율 ε\varepsilon[F/m]인 유전체 중에서 전하가 QQ[C], 전위가 VV[V], 반지름 aa[m]인 도체구가 갖는 에너지는 몇 J인가?

  1. 12πεaV2\dfrac{1}{2\pi \varepsilon a}V^2
  2. πεaV2\pi \varepsilon a V^2
  3. 2πεaV22\pi \varepsilon a V^2
  4. 4πεaV24\pi \varepsilon a V^2
정답과 해설 보기

정답 ③ · 도체구의 정전용량은 C=4πεaC=4\pi \varepsilon a이고, 이때 Q=CV=4πεaVQ=CV=4\pi\varepsilon aV이다. 도체구에 저장된 정전에너지는 W=12QV=12(4πεaV)V=2πεaV2W=\dfrac{1}{2}QV = \dfrac{1}{2}(4\pi\varepsilon aV)V = 2\pi\varepsilon aV^2이다.

도체구 정전용량 C=4πεa를 W=½CV²에 대입하면 에너지는 W=2πεaV²이다.

공기 콘덴서를 어느 전압으로 충전한 다음 전극간에 유전체를 넣어 정전용량을 2배로 하였다면 축적되는 에너지 몇배로 되는가?

  1. 1/4배
  2. 1/2배
  3. √2배
  4. 2배
정답과 해설 보기

정답 ② · 정답은 1/2배입니다. 공기 콘덴서를 충전한 후 전원과 분리(전하량 QQ 일정)한 상태에서 유전체를 넣어 정전용량이 C→2CC \to 2C가 되면, 저장 에너지는 W=Q22CW=\dfrac{Q^2}{2C}이므로 CC가 2배가 되면 WW는 12\dfrac{1}{2}배로 감소합니다.

전원 분리(Q 일정) 후 C가 2배가 되면 W=Q²/2C에 따라 저장 에너지는 1/2배가 된다.

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자주 묻는 물음

평행판 유전체 콘덴서의 에너지는 어떻게 구하나요?
C = ε₀εs S/d를 먼저 구한 뒤 W = ½CV²에 대입합니다. 면적은 m², 간격은 m로 바꾸는 환산이 핵심입니다.
전원을 끊고 유전체를 넣으면 에너지는?
전하 Q가 고정되므로 W = Q²/(2C)에서 용량이 커지는 만큼 줄어듭니다. 용량 2배면 에너지 1/2배, 10배면 1/10배입니다.
도체구가 가진 에너지 식은?
C = 4πε₀a, Q = CV를 써서 W = ½QV = 2πε₀aV²입니다. 계수 4π에 ½가 곱해져 2π가 됩니다.
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