두 벡터가 A=2ax+4ay-3az, B=ax-ay일 때 A×B는?
- 6ax-3ay+3az
- -3ax-3ay-6az
- 6ax+3ax-3az
- -3ax+3ay+6az
정답과 해설 보기
정답 ② · 두 벡터의 외적(cross product)은 로 계산한다. 각 성분은 성분: , 성분: , 성분: .
외적은 행렬식 전개로 구하며, ay 성분 앞에는 반드시 마이너스 부호가 붙는다.
개념 한 쪽
전기산업기사 벡터와 스칼라 — 내적·외적 계산·수직 판정·이루는 각
벡터 문제는 내적과 외적 두 연산로 갈린다. 내적 A·B = ABcosθ는 스칼라를 돌려주고 0이면 두 벡터는 수직이다. 외적 A×B는 행렬식으로 전개해 새 벡터를 만든다. 시험은 이루는 각 구하기, 수직 조건, 연산 규칙의 옳고 그름 세 가지로 나온다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「벡터와 스칼라」의 공개 문제 9개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 내적으로 이루는 각 | 3 | 내적을 크기 곱으로 나눠 cosθ 산출 |
| 수직·직교 조건 | 3 | 내적 0 판정과 미지 성분 역산 |
| 연산 규칙 옳고 그름 | 2 | 단위벡터 내적·외적 성질 |
| 외적 계산 | 1 | 행렬식 전개로 외적 성분 산출 |
뜻
두 벡터의 내적은 A·B = ABcosθ로 정의되며 결과는 스칼라다. 성분으로는 대응 성분끼리 곱해 더한다. 예컨대 A = i+4j+3k, B = 4i+2j−4k이면 A·B = 1×4+4×2+3×(−4) = 4+8−12 = 0이 되어 두 벡터는 서로 수직이다. 내적이 0이라는 것과 크기의 곱이 0이 아니라는 사실이 수직 판정의 핵심이다.
두 벡터가 이루는 각은 cosθ = A·B / (|A||B|)로 구한다. A = −7i−j, B = −3i−4j이면 A·B = 21+4 = 25, |A| = √50 = 5√2, |B| = 5이므로 cosθ = 25/(5×5√2) = 1/√2 ≈ 0.707, θ = 45°다. 성분을 하나씩 짝지어 곱할 때 부호를 놓치는 것이 최대 실수이고, |B| = √(3²+4²) = 5 같은 3·4·5 직각삼각형 꼴을 활용하면 계산이 짧아진다.
직교 조건을 역으로 쓰는 문제도 같은 원리다. A = Ax i+2j가 B = 3i−3j−k와 직교하려면 A·B = 3Ax−6 = 0이어야 하므로 Ax = 2다. 미지 성분을 포함한 내적을 세워 0으로 놓고 푼다.
외적 A×B는 행렬식으로 전개한다. A = 2ax+4ay−3az, B = ax−ay이면 ax 성분은 4×0−(−3)×(−1) = −3, ay 성분은 −(2×0−(−3)×1) = −3, az 성분은 2×(−1)−4×1 = −6이라서 A×B = −3ax−3ay−6az다. 중간 열(a_y)에만 마이너스가 붙는 전개 규칙을 그대로 따라야 한다.
단위벡터의 연산 규칙은 외우면 틀린 것 고르기가 바로 풀린다. 같은 단위벡터끼리의 내적은 i·i = j·j = k·k = 1(크기 1의 제곱), 서로 다른 직교 단위벡터끼리의 내적은 i·j = j·k = k·i = 0, 자기 자신과의 외적은 i×i = j×j = k×k = 0이다. "같은 벡터끼리의 내적이 0"이라는 보기가 늘 정답(틀린 설명)으로 깔린다.
예제
각 구하기는 세 단계다. ① 대응 성분 곱의 합으로 A·B ② 각 벡터의 크기 √(성분 제곱합) ③ cosθ를 계산해 역코사인. A = 2i+4j, B = 6j−4k이면 A·B = 24, |A| = √20, |B| = √52이므로 cosθ = 24/√1040 ≈ 0.745, θ ≈ 42°. 수직 판정은 내적만 세우면 끝난다. 외적은 a_y 항의 부호만 조심한다.
대표 기출 3문항
두 벡터 , 가 이루는 각은?
- 30°
- 45°
- 60°
- 90°
정답과 해설 보기
정답 ② · 두 벡터의 내적 공식 를 이용한다. , , 이다.
벡터 사잇각은 내적 공식 cosθ = A·B/(|A||B|)로 구하며, 1/√2면 45°다.
두 벡터 , 는 서로 어떤 관계에 있는가?
- 평행
- 면적
- 접근
- 수직
정답과 해설 보기
정답 ④ · 두 벡터가 이루는 관계는 내적으로 판별한다. 이므로 두 벡터는 서로 수직이다.
두 벡터의 내적이 0이면 수직이다. A·B = 4+8−12 = 0이므로 수직 관계.
자주 묻는 물음
- 두 벡터가 수직인지는 어떻게 판별하나요?
- 내적을 계산해 0이면 수직입니다. 대응 성분끼리 곱해 더한 값이 0인지 확인합니다(예: 4+8−12 = 0이면 수직).
- 두 벡터가 이루는 각은 어떻게 구하나요?
- cosθ = A·B/(|A||B|)에 대입합니다. 내적을 성분 곱의 합으로, 크기를 성분 제곱합의 제곱근으로 구한 뒤 나눕니다.
- 단위벡터의 내적·외적 규칙은 무엇인가요?
- 같은 단위벡터끼리 내적하면 1, 다른 직교 단위벡터끼리 내적하면 0, 자기 자신과의 외적은 0입니다. "같은 벡터끼리 내적이 0"은 틀린 설명입니다.
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