어떤 물체에 와 의 힘이 작용하고 있다. 이 물체에 을 가하였을 때 세 힘이 평형이 되기 위한 은?
정답과 해설 보기
정답 ① · 세 힘이 평형이 되려면 , 즉 . **오답 소거**: 부호를 잘못 뒤집거나 성분을 잘못 더하면 다른 보기가 나온다.
평형 조건은 ΣF=0이므로 F3=-(F1+F2)=-3i-7j+7k이다.
개념 한 쪽
전기산업기사 가우스의 정리 — 발산 계산·전기력선 수·전속 구분
가우스의 정리는 폐곡면을 나가는 전기력선의 총수로 내부 전하를 잰다는 법칙이다. 시험에서는 발산(div) 계산, 전하밀도 ρ = ε₀·div E, 전기력선 수와 전속의 구분이 반복해서 나온다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「가우스의 정리」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 평형 힘 계산 | 1 | 힘의 평형 조건으로 합력 구하기 |
| 일 계산 | 1 | 등전위면 위에서의 일 고르기 |
| 전위 변화 파악 | 1 | 전위를 절반으로 만드는 거리 고르기 |
뜻
폐곡면을 통과해 나가는 전기력선의 총 수 N은 내부 전하의 대수화 Q에 비례하고 N = Q/ε₀이다. 즉 전기력선 수는 내부 전하의 1/ε₀배다. 전속(전속선)은 이와 달리 Ψ = Q로 전하량과 같으므로, 「전기력선」이면 1/ε₀배, 「전속」이면 1배로 구분해 답한다. 전기력선의 성질로는 접선 방향이 그 점의 전계 방향과 일치하고, 정전하에서 나와 부전하로 들어가 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하며, 전계가 0이 아닌 곳에서 교차하지 않는다. 전기력선은 전하에서만 발생·소멸하고 전하가 없는 곳에서는 연속적으로 이어진다.
발산은 전계의 각 성분을 자기와 같은 좌표로 편미분해 더한 값이다. div E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z이고, 예컨대 E = 3x²i + 2xy²j + x²yzk이면 6x + 4xy + x²y가 된다(2xy²를 y로 미분하면 2x·2y = 4xy). 전하밀도는 가우스 법칙의 미분형 ρ = ε₀·div E로 구한다. E = [(sin x)ax + (cos x)ay]e^(−y) [V/m]이면 두 편미분이 cos x·e^(−y)와 −cos x·e^(−y)로 상쇄되어 div E = 0, 따라서 ρ = 0 C/m³이다. e^(−y)를 y로 미분하면 −e^(−y)가 되는 부호가 최대 함정이다.
같은 세트에서는 쿨롱의 법칙 F = 9×10⁹·Q₁Q₂/r²도 다룬다. 진공 중 1m 떨어진 같은 크기 전하 사이에 9×10⁹ N의 힘이 작용할 때 그 전하가 1C이고, 반발력 1N이 되는 거리는 r = √(9×10⁹·Q₁Q₂/F) = √(9×10⁹) ≈ 9.5×10⁴ m로 잰다(√10 ≈ 3.16). 점전하의 전위는 V = Q/(4πε₀r)로 거리에 반비례하므로 전위를 처음의 1/2로 만들려면 거리를 2배 늘린다. 등전위면 위에서는 전위차가 0이므로 전하를 운반하는 일 W = QΔV = 0이고, 대전 도체 내부는 전계가 0이라 전위가 일정한 등전위체다(전계 0은 전위 0이 아니라 전위 일정을 뜻한다).
예제
발산 문제는 i성분은 x로, j성분은 y로, k성분은 z로 편미분해 더하는 규칙 그대로다. 전하밀도는 「전계 → 발산 → ε₀ 곱」의 순서로 계산하고, 전기력선 수는 「전기력선 = Q/ε₀, 전속 = Q」 한 줄로 가른다. 쿨롱 법칙 변형은 미지수만 남겨 대입하면 끝나고, 전위·전계의 거리 의존성은 「전위 1/r, 전계 1/r²」으로 외우면 √가 붙은 선지를 전부 소거할 수 있다.
대표 기출 3문항
등전위면을 따라 전하 Q(C)를 운반하는 데 필요한 일은?
- 항상 0 이다.
- 전하의 크기에 따라 변한다.
- 전위의 크기에 따라 변한다.
- 전하의 극성에 따라 변한다.
정답과 해설 보기
정답 ① · 등전위면 위의 두 점은 전위차가 0이므로, 전하 를 등전위면을 따라 이동시키는 데 필요한 일은 이다. 이는 전하의 크기나 극성, 전위의 절대적 크기와 무관하게 항상 성립한다.
등전위면 위는 전위차 ΔV=0이므로 운반 일 W=QΔV=0, 전하 조건과 무관하다.
어느 점전하에 의하여 생기는 전위를 처음 전위의 1/2이 되게 하려면 전하로부터의 거리를 어떻게 해야 하는가?
- 1/2로 감소시킨다.
- 1/√2로 감소시킨다.
- 2배 증가시킨다.
- 1/√2배 증가시킨다.
정답과 해설 보기
정답 ③ · 점전하에 의한 전위는 로 거리 에 **반비례**한다. 전위를 처음의 로 만들려면 을 2배로 증가시켜야 한다 (이므로 이면 ).
점전하의 전위는 V∝1/r이므로 전위를 처음의 1/2로 만들려면 거리를 2배로 증가시킨다.
자주 묻는 물음
- 전기력선 수와 전속은 어떻게 구분하나요?
- 전기력선의 총 수는 N = Q/ε₀로 내부 전하 대수화의 1/ε₀배이고, 전속은 Ψ = Q로 전하량과 같습니다. 문제에서 「전기력선」이라고 물으면 나누고 「전속」이라고 물으면 그대로 Q입니다.
- 발산은 어떻게 계산하나요?
- div E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z로 각 성분을 자기와 같은 좌표로 편미분해 더합니다. 미분하지 않는 문자는 상수 취급되므로 2xy²를 y로 미분하면 4xy가 됩니다. 발산은 스칼라입니다.
- 전하밀도가 0이 되는 경우는 어떻게 확인하나요?
- ρ = ε₀·div E이므로 발산을 계산해 0이 나오면 전하밀도도 0입니다. 각 성분의 편미분이 서로 상쇄되는 꼴이 단골이며, 부호 처리(예: e^(−y)를 y로 미분하면 −e^(−y))만 조심하면 됩니다.
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