전기산업기사 입체각(가우스의 정리) — 전기력선 수와 발산 계산

가우스의 정리에 따르면 폐곡면(닫힌 면)을 뚫고 나가는 전기력선의 총 수 N은 내부 전하의 대수화 Q에 비례하고 N = Q/ε₀(ε₀: 진공의 유전율)으로 계산된다 — 전기력선 수는 내부 전하 대수화의 1/ε₀배다. 혼동하기 쉬운 것이 전속(전속선)인데, 전속의 수는 Ψ = Q로 전하량과 같다. 「전기력선」이면 1/ε₀배, 「전속」이면 1배라는 낱말 확인이 계산보다 먼저다.

발산(divergence)은 한 점에서 벡터장이 퍼져 나가는 정도를 나타내는 값으로, 각 성분을 자기와 같은 좌표로 편미분해 더한다 — div E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z. 전계가 E = 3x²i + 2xy²j + x²yzk이면 x성분은 6x, y성분은 4xy, z성분은 x²y가 되어 div E = 6x + 4xy + x²y다. i성분은 x로, j성분은 y로, k성분은 z로 미분하고, 미분하지 않는 문자는 상수 취급한다. 결괏값에 화살표가 붙지 않는 스칼라라는 점에서 회전(벡터)과 구분된다.

전하밀도는 가우스 법칙의 미분형 ρ = ε₀ × div E로 구한다. 전계 E = [(sin x)ax + (cos x)ay]e^(−y) [V/m]이면 x성분 미분 cos x·e^(−y)와 y성분 미분 −cos x·e^(−y)가 상쇄되어 div E = 0, 따라서 전하밀도는 0 C/m³이다. 전계의 성분(sin x, cos x, e^(−y))을 발산 계산 없이 그대로 고르면 함정 선지에 걸린다.

전기력선은 정(+)전하에서 나와 부(−)전하로 들어가며 전위가 높은 곳에서 낮은 곳으로 향하고, 전하에서만 발생·소멸한다. 전계가 0이 아닌 곳에서 두 선이 교차하면 그 점의 전계 방향이 두 개가 되어 모순이므로 교차하지 않는다. 전계의 거리 의존성은 대전체의 모양이 정한다 — 점전하는 E = Q/(4πε₀r²)로 거리 제곱에 반비례하고 구전하는 바깥에서도 같으며, 무한 선전하는 E = λ/(2πε₀r)로 거리에 반비례하고, 무한 평면전하는 E = σ/(2ε₀)로 거리와 무관하게 일정하다.

쿨롱의 법칙 F = 9×10⁹ × q²/r²도 한 축이다. 똑같은 작은 도체구 두 개를 접촉하면 전하가 똑같이 나뉘어 각각 q가 되고, 1 m 떼어 놓았을 때 9×10⁻³ N로 반발하면 q² = 10⁻¹²이 되어 각 전하는 10⁻⁶ C다. 쿨롱력은 중첩의 원리가 성립해 제3의 전하를 옆에 놓아도 두 전하 사이의 힘 자체는 변하지 않는다. 고립 구도체의 표면 전계는 E = V/r로 잡고 공기의 절연내력 3 kV/mm에 반지름 15 mm(지름 3 cm)를 곱하면 45 kV에서 표면 공기가 절연파괴된다. 전위 분포 V = 6x + 3 [V]에서는 전계 E = −dV/dx = −6ax [V/m]로 위치에 무관한 균일 전계가 되고, 전류량은 Q = It로 10 A가 5분(300초) 흐르면 3000 C이다.