어떤 물체에 와 의 힘이 작용하고 있다. 이 물체에 을 가하였을 때 세 힘이 평형이 되기 위한 은?
정답과 해설 보기
정답 ① · 세 힘이 평형이 되려면 , 즉 . **오답 소거**: 부호를 잘못 뒤집거나 성분을 잘못 더하면 다른 보기가 나온다.
평형 조건은 ΣF=0이므로 F3=-(F1+F2)=-3i-7j+7k이다.
개념 한 쪽
전기산업기사 전계의 발산정리 — div E와 전하밀도·전위 계산
전계의 발산정리 세트는 발산 계산과 전하밀도, 점전하의 전위·등전위면, 힘의 평형을 묻는다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「전계의 발산정리」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 벡터 평형 산출 | 1 | 힘들의 합이 0이 되는 세 번째 힘을 구한다 |
| 등전위면 이동 일 판정 | 1 | 전위차가 0인 면 위에서 필요한 일을 정한다 |
| 전위·거리 관계 | 1 | 전위를 절반으로 만드는 거리 변화를 고른다 |
뜻
발산은 각 성분을 자기 좌표로 편미분한 값의 합이다 — div E = ∂Ex/∂x + ∂Ey/∂y + ∂Ez/∂z. 전계가 E = 3x²i + 2xy²j + x²yzk이면 ∂(3x²)/∂x = 6x, ∂(2xy²)/∂y = 4xy, ∂(x²yz)/∂z = x²y가 되어 div E = 6x + 4xy + x²y다. 이 발산에 진공의 유전율을 곱하면 그 점의 전하밀도가 된다 — 가우스 법칙의 미분형 ρ = ε₀·div E. 전계 E = [(sin x)ax + (cos x)ay]e^(−y) [V/m]처럼 두 편미분이 서로 상쇄되면 div E = 0이라 전하밀도는 0 C/m³로 확정된다. 발산은 결괏값이 스칼라라는 점에서 회전(벡터)과 구분한다.
발산정리의 적분형이 가우스 정리다 — 폐곡면을 뚫고 나가는 전기력선의 총 수 N은 내부 전하 대수화 Q의 1/ε₀배(N = Q/ε₀)이고, 전속의 수는 Ψ = Q로 전하량과 같다.
전계의 크기가 거리에 따라 어떻게 줄어드는지는 대전체의 모양이 정한다. 무한평면 전하가 만드는 전계는 E = σ/(2ε₀)로 표면전하밀도 σ에만 의존하고 거리 항이 아예 없다 — 평형판 콘덴서 내부 전계가 어느 위치에서나 균일한 이유이기도 하다. 점전하는 1/r², 무한 선전하는 1/r로 감쇠하므로 거리 의존 항이 있는 식은 평면 전하가 아니다.
전위 계산도 세트의 한 축이다. 점전하 Q에서 거리 r의 전위는 V = kQ/r(k = 9×10⁹)이고, 거리 a, b 두 점의 전위차는 kQ(1/a − 1/b)다 — Q = 0.1×10⁻⁶ C, a = 1 m, b = 2 m이면 kQ = 900, (1 − 0.5) = 0.5를 곱해 450 V다. 전위는 거리에 반비례하므로 처음의 1/2으로 줄이려면 거리를 2배 늘리면 된다(전계의 1/r²과 혼동하면 √가 붙은 선지로 빠진다). 등전위면을 따라 전하 Q를 운반하는 데 필요한 일은 W = QΔV인데 등전위면 위는 전위차가 0이므로 전하의 크기·극성과 무관하게 0이다.
쿨롱의 법칙 F = 9×10⁹Q₁Q₂/r²의 정의 축과 힘의 평형이 남은 축이다. 1쿨롱은 진공 중 1 m 떨어진 같은 크기의 전하 사이에 9×10⁹ N의 힘이 작용할 때의 전하량이다. 여러 힘의 평형은 힘들의 합이 0이라는 조건 하나로 정리된다 — F₁ = −3i + 4j − 5k, F₂ = 6i + 3j − 2k에 평형을 만드는 세 번째 힘은 F₃ = −(F₁ + F₂) = −3i − 7j + 7k다. 정전계는 톰슨의 정리에 따라 전계에너지가 최소가 되는 전하분포의 전계다.
예제
① 전위차 — kQ = 9×10⁹ × 0.1×10⁻⁶ = 900, (1/1 − 1/2) = 0.5 → V = 900 × 0.5 = 450 V. ② 힘의 평형 — F₁ + F₂ = 3i + 7j − 7k → F₃ = −3i − 7j + 7k.
대표 기출 3문항
등전위면을 따라 전하 Q(C)를 운반하는 데 필요한 일은?
- 항상 0 이다.
- 전하의 크기에 따라 변한다.
- 전위의 크기에 따라 변한다.
- 전하의 극성에 따라 변한다.
정답과 해설 보기
정답 ① · 등전위면 위의 두 점은 전위차가 0이므로, 전하 를 등전위면을 따라 이동시키는 데 필요한 일은 이다. 이는 전하의 크기나 극성, 전위의 절대적 크기와 무관하게 항상 성립한다.
등전위면 위는 전위차 ΔV=0이므로 운반 일 W=QΔV=0, 전하 조건과 무관하다.
어느 점전하에 의하여 생기는 전위를 처음 전위의 1/2이 되게 하려면 전하로부터의 거리를 어떻게 해야 하는가?
- 1/2로 감소시킨다.
- 1/√2로 감소시킨다.
- 2배 증가시킨다.
- 1/√2배 증가시킨다.
정답과 해설 보기
정답 ③ · 점전하에 의한 전위는 로 거리 에 **반비례**한다. 전위를 처음의 로 만들려면 을 2배로 증가시켜야 한다 (이므로 이면 ).
점전하의 전위는 V∝1/r이므로 전위를 처음의 1/2로 만들려면 거리를 2배로 증가시킨다.
자주 묻는 물음
- 발산과 전하밀도는 어떤 관계인가요?
- ρ = ε₀·div E이다. 각 성분을 자기 축으로 미분해 더한 발산에 ε₀를 곱하면 그 점의 전하밀도가 되고, 발산이 0이면 전하밀도도 0이다.
- 등전위면을 따라 전하를 옮길 때 필요한 일은?
- 0이다. 등전위면 위의 어느 두 점이든 전위차가 0이라 W = QΔV = 0이고, 전하의 크기나 극성과 무관한다.
- 전위를 처음의 절반으로 줄이려면?
- 거리를 2배로 늘리면 된다. 점전하의 전위는 거리에 반비례하므로 거리를 n배 하면 전위는 1/n이 된다. 전계의 제곱 반비례와 혼동하지 않아야 한다.
이 개념 문제 10개 풀기 회원용
전기산업기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.