개념 한 쪽
토목기사 단면 2차 모멘트 — I=∫y²dA·도심축 최소·항상 양수
단면 2차 모멘트 세트는 정의와 극값, 부호 특성을 묻는다. I=∫y²dA는 거리의 제곱을 적분하므로 항상 양수이고, 평행축의 정리에 따라 도심축에 대한 값이 가장 작다.
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뜻
정의부터 확인한다. 단면 2차 모멘트는 I=∫y²dA로, 거리를 제곱해 적분하므로 y²이 음수가 될 수 없어 값은 항상 양수다. 도심축에 대해 최소값을 갖지만 그 값이 0은 아니고, 0이 되는 축은 단면적이 0인 경우를 빼면 존재하지 않는다.
평행축의 정리가 극값을 만든다. 기준축이 도심축에서 멀어질수록 단면 2차 모멘트는 커지므로 도심축에 대한 값이 최소이고, 바깥축으로 갈수록 커진다. 「도심축에서 최소」와 「바깥축에서 최대」를 뒤집은 선지가 오답이다.
부호 특성은 같은 세트의 다른 기하량과 대비된다. 단면계수·단면 2차모멘트·회전반경은 항상 양수지만, 단면 상승 모멘트는 기준축의 위치에 따라 부호가 결정되어 「항상 0보다 크다」고 단정할 수 없다. 절대적 표현이 들어간 선지를 정의와 대조하는 것이 이 유형의 요령이다.
관련 계산도 함께 나온다. 회전반경은 r=√(I/A)이고 원형 단면에서는 I=πd⁴/64, A=πd²/4이므로 r=d/4가 된다. 단면 1차 모멘트 Q=∫ydA는 차원이 [L³]이라 단면계수 Z=I/y와 차원이 같다.
예제
출제 패턴은 세 가지다. ① 정의·극값 — 2차모멘트가 0이 되는 축이 있다거나 도심축이 최대라고 적은 선지가 오답이다. ② 부호 특성 — 정·부 값을 모두 갖는 기하량을 물을 때 단면계수나 2차모멘트를 고르면 오답이고, 답은 단면 상승 모멘트다. ③ 계산 — 회전반경에서 I와 A를 바꿔 넣거나 원형 단면의 d/4를 d/2로 적은 선지가 오답이다.
자주 묻는 물음
- 단면 2차 모멘트가 항상 양수인 이유는?
- I=∫y²dA로 거리를 제곱해 적분하기 때문입니다. y²은 음수가 될 수 없어 값이 항상 양수이고, 도심축에서 최소가 되지만 0은 아닙니다.
- 도심축과 바깥축 중 어느 쪽의 단면 2차 모멘트가 큰가요?
- 바깥축이 큽니다. 평행축의 정리에 따라 도심축에서 멀어질수록 값이 커지므로 도심축에 대한 값이 최소입니다.
- 단면계수·2차모멘트·회전반경과 달리 부호를 가질 수 있는 기하량은?
- 단면 상승 모멘트입니다. 기준축의 위치에 따라 부호가 결정되어 항상 양수라고 단정할 수 없습니다. 단면계수·단면 2차모멘트·회전반경은 정의상 항상 양수입니다.
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