개념 한 쪽
유체의 운동량 변화율을 이용하면 제트가 물체에 가하는 힘과 로켓 또는 제트 엔진의 추진력을 계산할 수 있다. 대표 공식들은 충돌 형태와 기준계에 따라 다르지만 모두 질량유량과 속도의 곱으로 정리된다. 단위 일치와 상대속도 처리가 정답을 결정하므로 계산 단계에서 단위를 통일하는 습관을 들여야 한다.
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출제기준 단원 「각운동량 방정식의 응용」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 유량과 속도 단위 변환 후 충격력 계산 | 1 | 분 단위 유량을 초로 바꿔 F=ρQV로 힘을 구하는 절차를 묻는다 |
| 질량유량과 분사속도로 추진력 산출 | 1 | 질량유량과 배기속도를 곱해 로켓 추력을 계산하는 방법을 묻는다 |
| 분무·다중 분사에 따른 총 충격력 | 1 | n개의 분무가 있을 때 nρV²A 꼴로 총 힘을 구하는 공식을 묻는다 |
유체가 물체에 충돌할 때 물체가 받는 힘은 유체의 운동량이 시간당 얼마나 변하는가로 설명한다. 고정된 평판에 수직 충돌하는 경우 속도 성분이 0으로 소멸하므로 힘은 질량유량에 초기 속도를 곱한 값으로 나타난다. 대표 식은 F = ρ Q V 또는 단면적을 사용하면 F = ρ A V² 꼴을 쓴다.
운동하는 평판에 제트가 충돌할 때는 평판과 제트의 상대속도를 사용해야 한다. 평판이 제트와 같은 방향으로 움직이면 상대적으로 접근하는 속도는 제트 속도에서 평판 속도를 빼서 구하며, 힘은 그 상대속도의 제곱 또는 질량유량과 상대속도의 곱으로 계산한다. 따라서 기준계를 명확히 하고 속도 차이를 먼저 계산해야 한다.
분사된 흐름이 방향을 바꿔 나오면 속도 벡터의 변화량을 이용한다. 예를 들어 180° 반사처럼 방향이 완전히 뒤바뀌면 속도 차이는 2V가 되므로 힘은 직진 충돌의 두 배로 나타난다. 이 경우 식은 F = 2 ρ A V² 또는 F = 2 ρ Q V로 정리할 수 있다.
로켓과 제트 엔진의 추진력은 분출 가스의 질량유량과 분사속도의 곱 또는 분사속도와 비행속도의 차이에 질량유량을 곱한 값으로 구한다. 기본 식은 F = ṁ Ve (정지 기준) 또는 F = m_dot (V_e - V_f) (비행체가 운동 중일 때) 꼴이다. 여기서 불필요한 정보(예: 기체의 무게)는 추력 계산에 포함되지 않으므로 주어진 값의 역할을 판단해야 한다.
단위 관리가 중요하다. 유량이 분 단위로 주어지면 초 단위로 변환해야 하며, 속도는 km/h로 주어진 경우 m/s로 바꿔야 한다. 또한 N과 kN 같은 단위 변환을 최종 단계에서 적용하는 습관을 들여야 실수 없이 정답을 구할 수 있다.
대표 계산 1 — 고정 평판의 충격력: 유량 Q = 5 m³/min, 속도 V = 9 m/s, 물의 비중 1이므로 ρ = 1000 kg/m³이다. 유량을 초 단위로 바꾸면 Q = 5/60 m³/s가 된다. F = ρ Q V를 적용하면 F = 1000 × (5/60) × 9 = 750 N이 된다. 단위 변환을 잊으면 큰 오차가 발생하므로 유량 단위를 항상 m³/s로 맞춘다.
대표 계산 2 — 로켓의 추진력: 질량유량 ṁ = 100 kg/s, 배기가스 분사속도 Ve = 1600 m/s이면 추진력 F = ṁ Ve = 100 × 1600 = 160000 N이 된다. 단위를 kN으로 바꾸면 160 kN이 된다. 로켓의 무게와 같은 배경 정보는 추력 계산에서 무시함을 유의한다.
지름 50 mm 인 파이프에서 분사된 물분류가 평판에 수직으로 부딪쳐서 785 N 의 힘이 가해졌다. 이 때의 유속은 몇 m/s 인가? (단, 물의 밀도는1000 kg / m³, 중력가속도는 9.81 m / s2 이다.)
정답 ② · 제트가 평판에 수직으로 충돌할 때 발생하는 힘 F = ρ × Q × V 이다. 유량 Q = A × V = (π × 0.05² / 4) × V = 0.0019635 × V 이다.
수직 충돌 시 힘 F=ρAV² 공식을 이용해 유속 V를 구하면 V²=400이 되어 20m/s가 된다.
무게 10kN의 로켓트가 10 kg/s의 가스를 980 m/s 의 속도로 분출할 때 추력은 몇 kN 인가?
정답 ④ · 로켓의 추력은 유체역학적 운동량 방정식에 의해 추력 F = propellant mass flow rate * exit velocity + (exit pressure - ambient pressure) * area로 계산됩니다. 문제에서 압력차에 의한 추력 성분은 고려하지 않거나 대기압과 같다고 가정하므로, F = ṁ * V = 10 kg/s * 980 m/s = 9800 N입니다.
추력은 질량유량과 배기속도의 곱이므로 F=mv로 계산한 후 단위를 kN으로 변환해야 합니다.
밀도 ρ, 평균 단면적 A 인 n 개의 액체 분무가 평균 V의 속도로 수직 평판에 충돌할 때 분무로 인하여 평판이 받는 충격력은?
정답 ③ · 액체 분무가 수직 평판에 충돌할 때 평판이 받는 충격력을 운동량 정리로 구하는 문제이다. 하나의 분무에 대한 질량유량은 질량유량 = ρVA이고, 수직 충돌 시 운동량 변화율은 질량유량에 속도 V를 곱한 값과 같으므로 힘은 ρV²A가 된다.
수직 평판에 충돌하는 분무의 충격력은 운동량 변화율로 구하며, 질량유량(ρVA)에 속도(V)를 곱하여 nV²ρA가 된다.
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