개념 한 쪽
베르누이방정식의 응용 문제는 압력과 속도, 수두 간의 관계를 계산하는 문제로 출제된다. 피토관으로 측정한 압력차를 동압으로 보고 속도를 구하거나, 속도로부터 속도수두를 계산하고 수력기울기선의 의미를 판단하는 유형이 대표적이다.
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출제기준 단원 「베르누이방정식 응용」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 속도수두 계산 | 1 | 주어진 유속으로 속도수두(h=V²/2g)를 구하기 |
| 동압 계산 | 1 | 속도와 밀도로 동압(q=½ρV²)을 계산하기 |
| 피토관 압력차→속도 | 1 | 피토관 압력차를 Pa로 환산해 V=√(2ΔP/ρ)로 속도 구하기 |
베르누이방정식 응용에서는 동압과 정압, 정체압의 정의를 정확히 이해해야 한다. 동압은 q = ½ρV²로 주어지며, 유체의 운동에너지를 압력으로 환산한 값이다. 정체압은 정압과 동압의 합으로 정의되어 피토관의 정단에서 관측되는 압력과 일치한다.
피토관 문제는 압력차를 ΔP로 보고 속도 V = √(2ΔP/ρ) 공식을 적용해 해를 구한다. 압력단위가 수두(mmH2O·cmH2O 등)로 주어질 때는 파스칼로 환산한 뒤 밀도로 나누어 대입해야 한다. 예시 자료에서는 1mmH2O ≈ 9.8Pa, 1mH2O ≈ 9800Pa 변환을 사용하고 있다.
속도수두는 hv = V²/(2g)로 계산하며, 속도수두는 수력기울기선(HGL)과 에너지기울기선(EGL)을 구분할 때 중요한 항목이다. HGL은 위치수두와 압력수두의 합으로 정의되며 속도수두는 포함하지 않는다. 따라서 EGL은 HGL보다 항상 높다.
계산 문제에서는 밀도 값과 중력가속도(자료에서는 9.8m/s² 사용)를 주어진 값대로 적용하는 것이 핵심이다. 단위 환산 실수나 분자·분모 착오가 오답의 전형적 원인이다.
피토관에 물을 담은 U자관의 수주 높이 차가 2.5cm이고 공기밀도가 1.25kg/m³일 때 속도를 구하면, ΔP = ρ_water·g·h = 1000×9.81×0.025 = 245.25Pa가 된다. V = √(2ΔP/ρ_air) = √(2×245.25/1.25) = √(392.4) ≈ 19.8m/s가 된다.
풍속 40m/s, 공기밀도 1.2kg/m³인 경우 동압은 q = ½ρv² = 0.5×1.2×40² = 960Pa가 된다. 속도수두 예로 유속 1.4m/s이면 hv = V²/(2g) = 1.4²/(2×9.8) = 1.96/19.6 = 0.1m가 된다.
흐르는 물의 속도가 1.4 m/s일 때 속도 수두는?
정답 ① · 속도수두는 유체의 속도 에너지를 수두로 표현한 것으로, 베르누이 방정식에서 V²/2g 항에 해당합니다. 유속 V = 1.4 m/s, 중력가속도 g = 9.8 m/s² 를 공식에 대입하면 속도수두 h_v = V² / 2g = (1.4)² / (2 × 9.8) = 1.96 / 19.6 = 0.1 m 가 됩니다.
속도수두는 유체 운동에너지를 수두로 환산한 값으로, 공식 h=V²/2g에 속도를 대입하여 계산한다.
풍속이 40m/s인 공기(밀도1.2kg/m³)가 갖는 동압은?
정답 ④ · 주어진 풍속과 밀도로 공기의 동압을 구하는 문제이다. 동압은 q = 1/2 x ρ x v²로 정의된다.
밀도 1.6kg/m³ 인 기체가 흐르는 관에 설치한 피토정압관(Pitot-static tube)의 두 단자 간의 압력차가 4mmH2O 였다면 기체의 속도는 약 몇 m/s 인가?
정답 ③ · 피토정압관의 압력 차이를 이용하여 유속을 구하는 공식은 V = √(2 × ΔP / ρ) 입니다. 측정된 압력차가 4mmH2O이므로, 이를 Pa 단위로 환경하면 ΔP = 4 × 10⁻³ m × 1000 kg/m³ × 9.8 m/s² = 39.2 Pa입니다.
피토관의 베르누이 방정식 변형식 V=√(2ΔP/ρ)를 사용하여 압력차를 밀도로 나누어 제곱근을 취하면 속도가 나온다.
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