개념 한 쪽
유체의 흐름에서 단면적과 평균 유속의 곱은 일정하다는 연속방정식은 유량과 속도의 관계를 규정한다는 점을 설명한다. 이 관계는 관로 설계, 탱크 수위 변화, 속도장 검증 등 다양한 문제에 직접 적용한다는 점을 강조한다. 유동함수와 유체의 질량 보존 관점에서는 두 점 사이의 유량 계산과 밀도 변화율 계산이 연속방정식으로 단순화된다는 점을 안내한다.
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출제기준 단원 「평균 유속, 유량」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 탱크 밀도 변화율 계산 | 1 | 배출 유량과 체적으로 밀도 변화율을 구하는 방법을 묻나 |
| 현실사례 연속방정식 적용 | 1 | 단면적 변화에 따른 속도 변화 원리를 현상에 적용하여 설명하나 |
| 상태방정식 결합 속도 계산 | 1 | 이상기체 상태방정식으로 비체적을 구한 뒤 평균속도를 계산하나 |
연속방정식은 질량 보존의 수식적 표현으로, 비압축성 유동에서는 단면적 A와 평균 속도 V의 곱 Q=AV가 일정하다는 관계로 쓸 수 있다는 점을 말한다. 관의 지름이 변하면 단면적은 지름의 제곱에 비례하므로 속도는 지름의 제곱의 역수에 비례하여 변한다는 점을 설명한다. 이는 지름이 절반이 되면 단면적이 1/4가 되고 속도가 4배가 된다는 직관적 결과로 연결된다.
유동함수 ψ가 주어지는 2차원 비압축성 유동에서는 두 점 사이의 유량이 ψ의 값 차이와 같아 적분 없이 유량을 구할 수 있다는 점을 설명한다. 속도장 유효성 검증에서는 비압축성 조건을 발산(divergence)으로 표현한 ∂u/∂x + ∂v/∂y = 0을 사용하여 주어진 속도 성분이 연속방정식을 만족하는지 확인한다는 점을 밝힌다.
압축성 유동이나 탱크 문제에서는 질량 유량과 체적을 함께 고려하여 밀도 변화율 또는 수위 변화율을 계산할 수 있다는 점을 설명한다. 탱크 내부의 밀도 변화율은 배출 질량유량을 탱크 체적으로 나눈 값에 마이너스 부호를 붙여 계산한다는 점을 제시한다. 기체가 흐르는 문제에서는 이상기체 상태방정식으로 비체적 또는 밀도를 구한 뒤 연속방정식을 통해 평균 속도를 도출한다는 점을 지적한다.
예제 1 — 탱크의 밀도 변화율 계산 예시를 푼다. 배출 밀도 6.1 kg/m³, 속도 300 m/s, 단면적 60 mm²(0.00006 m²), 탱크 체적 0.1 m³를 연속방정식에 대입한다. 나가는 질량유량은 6.1×300×0.00006=0.1098 kg/s이고, 이를 체적으로 나누면 밀도 변화율은 -0.1098/0.1≈-1.098 kg/m³s로 약 -1.1 kg/m³s가 됨을 보인다.
예제 2 — 관로 평균속도 계산 예시를 푼다. 절대압력 0.32 MPa(320000 Pa), 온도 27℃(300 K)인 공기의 비체적 v=RT/P=(287×300)/320000≈0.269 m³/kg을 구한다. 내경 30 cm 관의 단면적은 A=π(0.15)²≈0.0707 m²이고, 질량유량 4 kg/s를 대입하면 평균속도 V=m_dot·v/A=4×0.269/0.0707≈15.2 m/s가 됨을 보인다.
탱크(내부온도 20℃, 체적 0.1 m³, 압력 800 kPa abs)에 공기가 채워져 있다가 t=0 일 때 밸브를 통해 공기를 바깥으로 방출한다. 밸브를 지나는 공기는 300 m/s의 유속을 갖고 밀도는 6.1 kg/m³이며 단면적은 60 ㎜2이다. 탱크내의 물성치들은 균일한 분포를 갖는다고 가정한다. t=0일 때 탱크내 밀도의 시간에 따른 변화율은 몇 kg/m³s 인가?
정답 ④ · 탱크에서 밸브로 공기가 방출될 때 t=0 순간의 탱크 내 밀도 변화율을 연속방정식으로 구하는 문제이다. 탱크 내 물성이 균일하므로 질량보존 법칙을 체적으로 나누면 dρ/dt = -ρAV/V_tank로 표현된다.
연속 방정식(질량 보존 법칙)인 dm/dt = -ρAV 공식을 사용하여 밀도 변화율을 계산하면 -1.1 kg/m³s가 된다.
고속도로 톨게이트의 폭이 도로에 비하여 넓게 만들어진 이유를 가장 적절하게 설명해 줄 수 있는 것은?
정답 ① · 톨게이트 폭을 넓게 만든 이유를 유체역학 법칙으로 설명하는 문제이다. 연속방정식 Q = AV에 따르면 유량이 일정할 때 단면적이 커지면 평균 속도가 작아진다.
유체의 단면적이 넓어지면 속도가 느려지는 연속방정식(AV=상수) 원리에 따라, 차량의 원활한 통과를 위해 톨게이트 폭을 넓게 설계한다.
내경 30cm의 원관 속을 절대압력 0.32Mpa, 온도 27℃인 공기가 4kg/s로 흐를 때 이 원관속을 흐르는 공기의 평균 속도는? (단, 공기의 기체상수 R= 287 J/kg·K이다.)
정답 ① · 관내를 흐르는 공기의 비체적(v)은 이상기체 상태방정식 Pv=RT를 이용하여 구합니다. 절대온도 T = 27 + 273 = 300K를 대입하면 v = RT/P = (287 × 300) / 320,000 ≈ 0.269m3/kg입니다.
이상기체 상태방정식으로 비체적을 구한 후, 질량유량과 단면적을 이용해 평균 속도를 계산한다.
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