개념 한 쪽
유체의 흐름에서는 질량이 생성되거나 소멸되지 않는다는 원리를 적용하여 연속방정식을 세우며, 이를 통해 밀도·단면적·속도 사이의 관계로 질량유량을 계산한다.
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출제기준 단원 「질량보존의 법칙」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 단면적·속도로 체적·질량유량 계산 | 1 | 지름과 속도로 체적유량과 밀도로 질량유량을 계산하게 함 |
| 중량유량에서 속도 환산 | 1 | 중량유량을 비중량으로 나누어 체적유량을 구한 뒤 평균속도를 구하도록 함 |
| 기체의 절대압력 적용 질량유량 | 1 | 게이지압과 대기압을 합쳐 이상기체 상태방정식으로 밀도를 구하고 질량유량을 계산하게 함 |
연속방정식은 유체역학에서 질량보존의 법칙을 수학적으로 표현한 식으로, 검사체적(Control Volume)으로 들어오는 질량유량과 나가는 질량유량의 합이 내부 질량 변화율과 같아야 한다고 설명한다. 즉, 유입 질량유량과 유출 질량유량이 같아야 한다는 개념이 핵심이다.
비압축성이거나 일정한 단면을 지나는 정상류에서는 단순히 ρAV의 형태로 정리할 수 있으며, 질량유량 ṁ은 밀도 ρ와 단면적 A, 평균속도 V의 곱으로 나타난다. 기체 문제가 주어질 때는 상태방정식(P=ρRT)을 이용해 절대압력과 절대온도에서 밀도를 먼저 구한 뒤 질량유량을 계산해야 한다는 점을 강조한다.
문제 유형으로는 단위중량 또는 중량유량을 비중량으로 나누어 체적유량을 구한 뒤 단면적으로 나누어 평균속도를 구하는 방식, 비중으로부터 밀도를 얻어 질량유량을 구하는 방식, 그리고 게이지압력에 대기압을 더해 절대압력을 구하고 이상기체 상태방정식을 적용해 밀도와 질량유량을 구하는 방식이 반복적으로 출제된다는 점을 지적한다.
계산 시 반드시 단위를 통일하고 압력은 절대압력, 온도는 절대온도(K)을 사용해야 하며 단면적 계산에서 지름→반지름 단위 변환에 실수하지 않도록 주의해야 한다.
예1) 지름 5cm 관, 비중 0.7 오일, 속도 3 m/s인 경우의 계산 절차는 다음과 같다. - 반지름 r = 0.025 m, 단면적 A = πr² ≈ 0.001963 m²이다. - 체적유량 Q = A·V ≈ 0.001963×3 ≈ 0.00589 m³/s이다. - 밀도 ρ = 비중×1000 = 700 kg/m³이므로 질량유량 ṁ = ρQ ≈ 700×0.00589 ≈ 4.13 kg/s이다.
예2) 내경 100 mm 관, 비중 0.8 기름, 평균속도 4 m/s인 경우의 계산 절차는 다음과 같다. - 반지름 r = 0.05 m, 단면적 A = πr² ≈ 0.007854 m²이다. - 밀도 ρ = 0.8×1000 = 800 kg/m³이므로 질량유량 ṁ = ρ A V ≈ 800×0.007854×4 ≈ 25.1 kg/s이다.
위 예들은 모두 먼저 밀도 또는 비체적을 구하고, 체적유량과 단면적 관계를 이용해 속도 또는 질량유량을 단계적으로 계산하는 전형적인 풀이 과정을 보인다.
지름이 5cm인 원형관에 비중이 0.7인 오일이 3 m/s의 속도로 흐를 때, 체적유량과 질량유량은 각각 얼마인가?(단, 물의 밀도는 1000 kg/m³ 이다.)
정답 ③ · 관의 단면적 A = π × (0.05/2)^2 = 0.0019635 m² 이다. 체적유량 Q = A × V = 0.0019635 × 3 = 0.00589 m³/s ≈ 0.0059 m³/s 이다.
단면적에 속도를 곱해 체적유량을 구하고, 여기에 오일의 밀도를 곱하여 질량유량을 계산한다.
지름이 20㎝인 관속을 초당 400 N의 물이 흐르고 있다. 관내에서의 평균 속도는 몇 m/s 인가?
정답 ① · 물의 단위중량 γ = 9810 N/m³ 이다. 체적유량 Q = 400 N/s ÷ 9810 N/m³ = 0.04077 m³/s 이다.
체적유량을 단면적으로 나누어 평균 속도를 구하며, 단위중량으로 중력을 체적으로 변환해야 한다.
공기가 게이지압력 2.06bar의 상태로 지름이 0.15m인 관속을 흐르고 있다. 이 때 대기압은 1.03bar이고 공기 유속이 4m/s라면 질량유량(mass flow rate)을 계산하면 약 몇 kg/s인가? (단, 공기의 온도는 37℃이고, 가스상수는 287.1 J/kg.K 이며 1bar=105 Pa이다.)
정답 ① · 관 내 공기 흐름의 질량유량을 이상기체상태방정식으로 구하는 계산 문제이다. 먼저 절대압력은 게이지압력과 대기압의 합인 2.06+1.03=3.09bar=3.09×105Pa이다.
절대압력=게이지압+대기압으로 구한 후 이상기체상태방정식으로 밀도를 계산하고, 단면적과 유속을 곱해 질량유량을 구한다.
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