라플라스 함수 F(s)=(4s＋16)/(s2＋8s＋20)에 대한 시간함수는?
- 4e-4tcos2t
- e-4tcos2t
- e-4tsin4t
- 4e-tsin4t
정답과 해설 보기
정답 ① · 주어진 라플라스 함수의 역변환을 묻는 문제이다. 분모를 완전제곱으로 쓰면 s^2+8s+20 = (s+4)^2+4이며 분자는 4s+16 = 4(s+4)이다.
개념 한 쪽
전기기사 라플라스 변환 — sinωt 기본식·s→s−a 치환·완전제곱 역변환
기본 변환식은 표로 외운다 — L{sin ωt} = ω/(s²+ω²), t와 지수의 곱은 s를 s−a로 치환해 L{te^(−3t)} = 1/(s+3)². 역변환은 분모를 완전제곱으로 만들어 표준형에 맞춘다 — F(s) = (4s+16)/(s²+8s+20) = 4(s+4)/[(s+4)²+2²]의 시간함수는 4e^(−4t)cos 2t다.
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시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「라플라스 변환 등」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| sin 변환식 고르기 | 1 | L{sinωt} = ω/(s²+ω²) 선택 |
| t·지수 곱 치환 변환 | 1 | L{te^(−3t)} = 1/(s+3)² 산출 |
| 역변환 계산 | 1 | 완전제곱 → 4e^(−4t)cos 2t 산출 |
뜻
기본 변환표가 출제의 중심이다. L{sin ωt} = ω/(s²+ω²)이며, 보기에는 분자가 s인 s/(s²+ω²) 형태가 오답으로 함께 나온다. 어떤 값을 분자에 쓰는지가 보기 흐트리기의 표적이 된다.
곱으로 겹친 함수는 치환 규칙으로 푼다. 시간함수에 e^(at)가 곱해지면 변환식의 s를 s−a로 바꾼다. L{t} = 1/s²에 a = −3을 적용하면 L{te^(−3t)} = 1/(s+3)²다. 부호가 헷갈리면 e^(−3t)이므로 s−(−3) = s+3임을 되새긴다.
역변환은 분모의 완전제곱이 첫걸음이다. F(s) = (4s+16)/(s²+8s+20)은 분모를 (s+4)²+4 = (s+4)²+2²로, 분자를 4(s+4)로 쓰면 표준형 4(s+4)/[(s+4)²+2²]이 된다. 감쇠 항과 진동수를 읽어 시간함수는 4e^(−4t)cos 2t다. 계수·감쇠 항·진동수 세 가지가 보기에서 각각 하나씩 바뀌어 나온다.
예제
문항은 두 꼴이다. ① 기본식 고르기: L{sin ωt} = ω/(s²+ω²) 선택, s→s−a 치환으로 L{te^(−3t)} = 1/(s+3)² 산출. ② 역변환: 완전제곱 (s+4)²+2² → 4e^(−4t)cos 2t.
대표 기출 3문항
f(t)=te-3ᵗ일 때, 라플라스 변환은?
- 1/(s＋3)2
- 1/(s-3)2
- 1/(s-3)
- 1/(s＋3)
정답과 해설 보기
정답 ① · 함수 f(t)=t e^{-3t}의 라플라스 변환을 묻는 문제이다. 기본적으로 L{t}=1/s^2이고 지수승 e^{at}가 곱해지면 s를 s-a로 치환하므로 여기서는 a=-3이므로 s→s+3이 된다.
sinωt의 라플라스 변환은?
- S/(S2＋ω2)
- ω/(S2＋ω2)
- S/(S2-ω2)
- ω/(S2-ω2)
정답과 해설 보기
정답 ② · 문제는 sin(ωt)의 라플라스 변환을 묻는다. 기본 라플라스 변환식에 따르면 L{sin(ωt)} = ω/(s^2＋ω^2)이다.
자주 묻는 물음
- sin ωt의 라플라스 변환은?
- ω/(s²+ω²)다. 보기에는 분자가 s인 s/(s²+ω²) 형태가 오답으로 함께 나온다.
- e^(at)가 곱해지면 변환식은?
- s를 s−a로 치환한다. te^(−3t)는 L{t} = 1/s²에서 1/(s+3)²이 된다.
- F(s) = (4s+16)/(s²+8s+20)의 시간함수는?
- 분모 = (s+4)²+2², 분자 = 4(s+4)이므로 4e^(−4t)cos 2t다.
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