개념 한 쪽
측량에서 여러 관측값의 오차를 다루는 기본 원리는 오차의 누적 방식과 오차전파법칙을 이해하는 것이다. 평균제곱근오차와 관측회수의 관계, 우연오차의 누적 규칙, 곱셈형 물리량의 오차전파 공식 등을 문제로 자주 다룬다.
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출제기준 단원 「조정계산 방법」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 관측횟수와 RMSE 계산 | 1 | 원하는 RMSE를 얻기 위한 관측회수 산정법을 묻는다 |
| 줄자 누적오차 계산 | 1 | 총거리 측정 시 우연오차의 누적법을 묻는다 |
| 곱셈형 오차전파 계산 | 1 | 두 길이의 곱인 면적의 표준오차를 구하는 절차를 묻는다 |
관측을 반복하면 평균값의 정밀도는 좋아진다. 평균제곱근오차 m은 단회 관측 오차 m₀를 관측횟수 n의 제곱근으로 나눈 값으로 표현되며 m = m₀/√n 관계가 성립한다. 따라서 오차를 k배 줄이려면 관측회수는 k²배 필요하다는 원리를 따른다.
거리측정 등 반복된 관측에서 우연오차는 관측횟수 n에 대해 선형적으로 누적하지 않고 √n에 비례해 누적된다. 전체 우연오차는 단일 관측오차에 √n을 곱해 구한다. 이와 구분해 계통오차는 관측횟수에 비례해 누적된다고 보는 점을 기억한다.
두 변수의 곱으로 정의된 물리량의 오차는 오차전파법칙으로 계산한다. 예를 들어 면적 A = X·Y의 표준오차 σ_A는 σ_A = √((Y·σ_X)² + (X·σ_Y)²)로 구한다. 각 항은 다른 변수의 값과 해당 변수의 표준오차가 곱해진 뒤 제곱되는 형태라는 점이 핵심이다.
줄자처럼 길이에 비례하는 공차가 주어지면 상대오차를 먼저 구하고 이를 각 변의 길이에 곱해 개별 오차를 구한 뒤 면적의 최대오차는 L·dW + W·dL 또는 A(dx/x + dy/y)로 계산한다. '최대'오차는 두 변의 오차가 같은 방향으로 작용할 때의 합으로 취급한다.
평균제곱근오차(RMSE)는 잔차제곱합을 자유도(n−1)로 나눈 뒤 제곱근을 취한 값으로 정의한다. 잔차의 합이나 평균값 등 문제에 불필요한 수치는 RMSE 계산에 쓰지 않으며 공식 RMSE = √(Σv²/(n−1))만 적용한다.
1) 관측횟수와 평균제곱근오차 관계 예시: 관측횟수가 8일 때 평균제곱근오차가 ±0.7″로 계산된 경우 단회 오차 m₀는 0.7×√8 ≈ ±1.98″가 된다. 동일한 단회 오차에서 목표값 ±0.3″를 얻으려면 √N = 1.98/0.3 ≈ 6.6이므로 N ≈ 43.6이며 올림하여 44로 정한다.
2) 줄자 누적오차 및 면적 최대오차 예시: 길이 30m의 줄자에서 단일 측정 오차가 0.03m일 때 270m를 측정하면 관측횟수는 270을 30으로 나누어 9가 되므로 전체 우연오차는 0.03×√9 = 0.09m가 된다. 직사각형 면적 A = X·Y에서 가로 길이 X=50.26m의 표준오차가 0.016m이고 세로 Y=38.54m의 표준오차가 0.005m일 때 면적의 표준오차는 σ_A = √((38.54×0.016)² + (50.26×0.005)²) ≈ 0.67m²로 계산한다.
어느 지점의 각을 8회 관측하여 평균제곱근오차 ±0.7″를 얻었다. 같은 조건으로 관측하여 ±0.3″의 평균제곱근오차를 얻기 위해서는 몇 회 측정하여야 하는가?
정답 ④ · 관측 회수(n)에 따른 평균제곱근오차(m)의 관계는 'm = 단회관측오차(m₀) / √n' 로 나타낼 수 있습니다. 8회 관측하여 ±0.7초를 얻었으므로, 단회 관측의 오차 m₀는 0.7 × √8 = ±1.9799초가 됩니다.
m=m₀/√n이므로 n₂=(m₁/m₂)²×n₁=(0.7/0.3)²×8≈43.6, 올림하여 44회를 관측한다.
거리측정에서 줄자로 1회 관측 시 오차가 0.03m 이라면 30m줄자로 270m를 측정하였을 때 오차는?
정답 ② · 거리측량에서 우연오차는 관측 횟수의 제곱근에 비례하여 누적됩니다. 30m 줄자로 1회 관측 시 발생하는 오차가 ±0.03m라면, 270m를 측정하기 위해서는 총 9회(270/30)의 관측이 필요합니다.
우연오차는 관측횟수의 제곱근에 비례해 누적된다: 0.03×√(270/30)=0.03×3=0.09m
직사각형의 지역의 면적을 측량하기 위하여 X,Y의 길이를 관측한 결과가 X = 50.26m ± 0.016m, Y = 38.54 ± 0.005일 때, 이 면적에 대한 표준오차 (평균 제곱근 오차)는?
정답 ④ · 면적의 표준오차(mA)는 각 변의 표준오차(mX, mY)와 길이(X, Y)를 이용하여 오차전파법칙 mA² = (Y × mX)² + (X × mY)² 으로 구합니다. 주어진 값 대입 시, mA² = (38.54 × 0.016)² + (50.26 × 0.005)² = 0.6166² + 0.2513² = 0.380 + 0.063 = 0.443이 됩니다.
면적 A=X·Y의 표준오차는 오차전파법칙으로 mA=√((Y·mX)²+(X·mY)²)이다.
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