개념 한 쪽
토목 측량에서 면적은 도면과 실제 지면을 연결하는 핵심 값이므로 축척의 제곱 관계와 각종 계산 공식을 정확히 적용해야 한다. 삼각형의 세 변이 주어지면 헤론의 공식으로 면적을 구하고, 도면상의 면적을 실제 면적으로 환산할 때는 축척 분모의 제곱을 곱한다. 또한 면적 요구 정밀도는 길이 측정 정밀도와 관계가 있으므로 오차 전파를 고려해야 한다.
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출제기준 단원 「면적계산」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 삼각형 면적 계산 | 1 | 세 변의 길이만 주어졌을 때 헤론의 공식으로 면적 구하기 |
| 축척 오인 보정 | 1 | 잘못 본 축척으로 계산한 도면면적을 올바른 축척으로 보정하기 |
| 길이-면적 정밀도 역산 | 1 | 요구 면적 정밀도를 만족하려면 길이 측정 정밀도가 얼마인지 역산하기 |
삼각형의 세 변 a, b, c가 주어졌을 때 높이를 직접 구하지 않고 면적을 계산하는 표준 방법이 헤론의 공식이다. 먼저 둘레의 절반 s=(a+b+c)/2를 구하고, 면적 S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]를 적용하여 면적을 산출한다. 예시로 변의 길이를 72m, 63m, 54m로 두었을 때 s=94.5m이고 면적은 약 1647m²로 계산할 수 있다.
도면상 면적과 실제 면적의 관계는 길이 축척의 제곱 관계를 따른다. 축척 1:N 도면에서 길이는 N배, 면적은 N²배가 되어 도면상의 면적에 축척 분모의 제곱을 곱해야 실제 면적을 얻는다. 예를 들어 축척을 잘못 보고 계산한 도면상 면적을 보정할 때는 측정한 축척과 실제 축척의 분모 비율의 제곱을 곱해야 한다.
단위 변환을 함께 고려해야 한다. 도면상의 면적이 cm² 단위로 주어지면 축척 변환 후 m²나 km²로 적절히 바꿔야 하므로 각 단위의 제곱 변환 계수를 정확히 적용해야 한다. 예시로 축척 1:5000에서 도면상 1cm²는 실제 2500m²에 해당한다.
측량 장비의 길이 오차는 면적 오차로 증폭된다. 직사각형의 면적은 가로×세로이므로 길이 오차가 면적에 거의 2배 정도로 반영되는 오차 전파 특성이 있다. 따라서 면적의 상대 오차 요구치가 1/1,000일 때 길이 측정의 상대 오차 요구치는 약 1/2,000 수준으로 설정해야 한다.
체적 계산과 관련된 문제에서는 중간 단면적을 이용한 각주공식(Prismoidal formula) V=(h/6)(A1+4Am+A2)를 사용하여 두 단면 사이의 체적을 보다 정확히 산정한다. 면적 계산 문제와 체적 공식은 함께 출제되어 단면적과 높이의 관계를 묻는 문항을 구성한다.
1) 헤론의 공식 적용 예시 세 변의 길이를 72m, 63m, 54m로 주면 s=(72+63+54)/2=94.5m이다. S=√[94.5(94.5-72)(94.5-63)(94.5-54)]를 계산하면 약 1647m²가 된다. 계산 시 s와 각 (s-a) 항의 값이 소수로 나올 수 있으므로 제곱근 계산 정확도를 확인해야 한다.
2) 축척 보정 예시 축척 1/1000로 잘못 알고 도면상 면적을 12000m²로 계산했을 경우, 실제 축척이 1/1200이면 실제 면적은 12000 × (1200/1000)² = 12000 × 1.44 = 17280m²가 된다. 축척 보정은 항상 분모의 제곱을 적용하는 것을 원칙으로 한다.
직사각형 모양의 토지면적을 1/1,000정확도로 산출할려면 변길이의 측정 정확도는 얼마로 측정해야 하는가?
정답 ② · 면적 정확도를 만족하기 위한 변 길이 측량 정확도를 오차 전파로 역산하는 문제이다. 직사각형 면적은 두 변 길이의 곱이므로 면적의 상대 오차는 각 변 길이의 상대 오차의 합으로 전파되어, 길이 오차의 약 2배가 된다.
면적 오차는 길이 오차의 약 2배이므로, 면적 정확도 1/1,000을 위해 길이 측정 정확도는 1/2,000이어야 한다.
면적계산에서 삼각형의 세변의 길이가 각각 a=72m, b=63m, c=54m일 때 면적은 얼마인가?
정답 ① · 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 면적을 헤론의 공식으로 계산하는 문제이다. 먼저 s = (a+b+c)/2 = (72+63+54)/2 = 94.5m를 구한다.
세변의 길이를 알 때 헤론의 공식을 이용해 삼각형 면적을 계산한다.
축척 1/1200 지형도 상에서 면적을 측정하는데 축척을 1/1000로 잘못 알고 면적을 산출한 결과 12000m²를 얻었다면 정확한 면적은 얼마인가?
정답 ④ · 도면상에서 측정한 면적을 축척의 제곱으로 보정하여 실제 면적을 구합니다. 축척이 1/1200일 때 도면 면적 S_map이면 실제 면적은 S_real = S_map * 1200^2 입니다.
실제 면적은 도면 면적에 축척분모의 제곱을 곱하므로 1200^2를 적용해야 한다.
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