면적계산에서 삼각형의 세변의 길이가 각각 a=72m, b=63m, c=54m일 때 면적은 얼마인가?
- 1647m2
- 130m2
- 498m2
- 39m2
정답과 해설 보기
정답 ① · 세 변의 길이가 주어진 삼각형의 면적을 헤론의 공식으로 계산하는 문제이다. 먼저 s = (a+b+c)/2 = (72+63+54)/2 = 94.5m를 구한다.
세변의 길이를 알 때 헤론의 공식을 이용해 삼각형 면적을 계산한다.
개념 한 쪽
토목산업기사 체적계산 — 면적 변환·삼각형 면적·지도 축척
체적과 면적을 계산하는 문제는 토목 측량과 토공에서 자주 출제되는 기본 유형이다. 주어진 변, 각도, 단면적, 또는 지도상의 면적을 적절한 공식을 사용해 실제 면적이나 체적으로 변환하는 능력이 핵심이다. 본 개념은 삼각형 면적 계산 방법, 두 변과 끼인각으로 구하는 면적, 그리고 축척에 따른 면적 변환 원리를 정리한다.
이 개념을 문제로 확인하고 싶으면 이 개념 문제 10개 풀기 회원용
가입 없이 오늘의 10문제 바로 풀기 →
시험에 이렇게 나온다
출제기준 단원 「체적계산」의 공개 문제 3개를 묻는 꼴별로 나누면 이렇습니다.
| 묻는 꼴 | 문제 수 | 무엇을 묻나 |
|---|---|---|
| 삼변으로 삼각형 면적 계산 | 1 | 헤론의 공식으로 세 변이 주어진 삼각형의 면적을 계산하기 |
| 두 변과 끼인각으로 면적 계산 | 1 | 두 변과 그 사이 각이 주어졌을 때 1/2ab sinθ로 면적을 구하기 |
| 지도 축척에 의한 면적 변환 | 1 | 지도상의 면적을 축척 제곱과 단위 변환으로 실제 면적으로 바꾸기 |
뜻
삼각형의 세 변이 주어졌을 때 면적은 헤론의 공식으로 구할 수 있다. 먼저 반둘레 s=(a+b+c)/2를 계산하고 면적 S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]를 적용하여 높이를 구하지 않고도 면적을 산출할 수 있다. 계산 과정에서 s와 각 항의 차가 소수나 큰 수가 될 수 있으므로 연산 순서와 계산기 정밀도에 주의해야 한다.
두 변의 길이와 그 사이의 끼인각이 주어진 경우에는 삼각형 넓이를 S=1/2·a·b·sinθ 공식을 사용한다. 각도가 도와 분(′)으로 주어지면 분을 도(°)의 소수로 변환한 뒤 사인값을 계산하여 대입한다. 끼인각이 80°대처럼 사인값이 1에 가까운 경우에는 ab/2 수준의 값과 근사함을 이용해 빠르게 추정할 수 있다.
지도상의 면적을 실제 면적으로 변환할 때는 축척의 제곱 원리를 적용한다. 축척이 1:n이면 길이비는 1:n이고 면적비는 1:n²가 되므로 지도상 면적을 실제 면적으로 변환하려면 지도면적×n²를 한다. 단위 변환(예: cm²→km²)을 위해 해당 단위의 제곱 변환계수를 함께 적용해야 한다.
면적 오차와 측정 오차 관계에서는 거리에 대한 상대오차가 주어지면 면적의 상대오차는 거리 상대오차의 2배가 된다는 점을 기억한다. 이는 면적이 길이의 제곱에 비례하기 때문에 발생하는 기본적인 오차 전파 원리이다.
예제
1) 헤론의 공식 적용 예시: 세 변의 길이가 각각 72 m, 63 m, 54 m일 때 s=(72+63+54)/2=94.5 m이고 S=√[94.5(94.5-72)(94.5-63)(94.5-54)]를 계산하여 약 1647 m² 수준의 값을 얻는 과정을 보인다. 연산 과정에서 s와 괄호 안의 값들을 정확히 계산하는 것이 핵심한다.
2) 두 변과 끼인각으로 면적 계산 예시: 두 변의 길이가 각각 60.35 m와 120.82 m이고 끼인각이 80°45′(=80.75°)일 때 sin(80.75°)≈0.987을 이용하여 S=0.5×60.35×120.82×0.987을 계산하면 약 3594~3598 m² 수준의 값을 얻는 과정을 보인다. 분 단위를 도 단위로 변환하는 과정을 잊지 않아야 한다.
3) 축척에 의한 면적 변환 예시: 1/25000 축척 지형도에서 면적이 84 cm²이면 실제 면적은 84×25000²(cm²)이 된다. 이를 km²로 환산하려면 1 km²=10¹⁰ cm² 관계를 사용하여 84×25000²÷10¹⁰≈5.25 km²를 얻는 과정을 보인다.
대표 기출 3문항
삼각형의 면적을 구하고자 할 때 두 변의 길이가 각각 60.35m, 120.82m이고 그 사이의 각이 80˚ 45˚ 이었다면 삼각형의 면적은?
- 3598.34 m2
- 4826.42 m2
- 3465.34 m2
- 5027.22 m2
정답과 해설 보기
정답 ① · 두 변의 길이와 그 사이의 끼인각을 알 때 삼각형의 면적을 구하는 공식은 'S = (1/2) × a × b × sin(θ)' 입니다. 주어진 값 a = 60.35m, b = 120.82m, θ = 80˚45'를 공식에 대입합니다.
삼각형의 두 변과 끼인각을 알 때 면적은 S = 1/2 × a × b × sin(θ) 공식을 사용하며, 각도를 도 단위로 변환하여 계산해야 한다.
1/25000 지형도상에서 면적을 측정한 결과가 84cm² 이었을 때 실제면적은?
- 6.25 km²
- 5.25 km²
- 4.25 km²
- 3.25 km²
정답과 해설 보기
정답 ② · 축척 1/25000은 실제 길이 25000cm가 지도상 1cm로 표현됨을 의미합니다. 면적비는 축척비의 제곱이므로, 지도상 면적 84cm²에 25000²을 곱해 실제 면적(cm²)을 구합니다.
지도 면적은 축척비의 제곱에 비례하므로 실제 면적은 지도 면적×축척²이다.
자주 묻는 물음
- 세 변이 주어졌을 때 왜 헤론의 공식을 쓰나요?
- 세 변만 알면 높이를 구하지 않고도 면적을 구할 수 있기 때문에 헤론의 공식을 사용한다.
- 끼인각이 분 단위로 주어지면 어떻게 계산하나요?
- 분은 도의 소수로 변환하여 사용한다(예: 45′=0.75°)한 뒤 사인값을 계산하여 면적 공식에 대입한다.
- 지도 면적을 km²로 바꿀 때의 핵심 단계는 무엇인가요?
- 축척 분모의 제곱을 곱해 실제 면적(cm²)을 구한 뒤 단위 변환계수(예: 10¹⁰ cm²=1 km²)를 나누어 km²로 변환하는 과정을 따른다.
이 개념 문제 10개 풀기 회원용
토목산업기사 풀이 세트에서 이 개념의 문제 10개를 바로 풀어 보세요.